福建省福州市八县(市、区)协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份福建省福州市八县(市、区)协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案），共12页。

福州市八县(市)协作校2025—2026学年第二学期期中联考
高一数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
命题：福州延安中学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 则|z|=( )
B. C.√5 D.5
2. 若e,e₂ 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是( )
A.e+e₂ 和e₁-e₂ B. 3e₁-2e₂ 和-6e+4e₂
C.e+3e₂ 和3e₁+e₂ D. e₂ 和e+e₂
3. 一物体在力F 的作用下，由点A(4,0) 移动到点B(2,4). 若F=(-2,3), 则戸对该 物体所做的功为( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
4. 已知某圆锥的底面积为4π,轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
5. 设 a,b 是向量，则 “(a+b)(a-b)=0” 是“ a=-b 或a=b” 的 ( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 三棱锥S-ABC 中 ，AB⊥AC,SA⊥ 平面ABC,AB=AC=2, SA=3, 球O 是三 棱锥S-ABC 的外接球，则球O的体积是( )
D.
7.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，
到A处时测得公路北侧一铁塔底部C 在西偏北30° 的方向上，行驶300m 后到达B处，测得此铁塔底部
C 在西偏北75°的方向上，塔顶D 的仰角为30°,则
高一数学 - 1 - (共4页)
此铁塔的高度为( )
A.150√6m B.150√3m C.50√6m D.50√3m
8. 在VABC中 ，CA=CB=√5,AB=4, 点 M为VABC所在平面内一点且AM·BC=0, 则AM·CM 的最小值为( )
A.0 B. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量a=(1,-2),b=(4,y), 则正确的有( )
\l "bkmark2" A. 若a//b, 则y=-8
\l "bkmark3" B. 若a⊥b, 则y=-2
C. 若a,b 的夹角为钝角，则y>2
D. 若y=2, 则a 在a+b 方向上的投影向量是(1,0)
10. 根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
B.b=5,c=7,
C.a=4,b=3, D.a=2,b=√3,
11. 在VABC中 ，AB=2,AC=3, ,点P 为VABC内一 点，AP的延长线交BC于 点D, 则下列说法正确的是( )
A. 若P 为VABC的重心，则 B. 若P 为VABC的外心，则
C. 若P 为VABC的垂心，则 D. 若P 为VABC的内心，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. △ABC是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是△A₁B₁C₁, 则
△A₁B₁C₁的面积是 _
13. 若复数满足|2|=|z-2i|=1, 则z 的虚部为
14. 已知复数z=1,z₂=i,Z₃=csθ+isinθ,θ∈(0,2π), 在复平面内复数z,Z₂,Z₃ 对 应的向量分别为a,b,c. 若a·b=[a·c]+[6·c] ( 其中[x] 表示不超过x 的最大整数，
如：[2.1]=2,[-1.5]=-2,则|a+b+c 的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知 | à |=4, |5=2, 且a 与6的夹角为120°,
(1)求|a- 26|;
(2)求2a 与a+b 的夹角.
16 . (15分)
已知z 为复数，z+2i 为实数，且z(1-3i)为纯虚数，其中i 是虚数单位.
(1)求z;
(2)若复数(z+mi)² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.
17 . (15分)
如图，在平面四边形ABCD 中 ，AB=AD=2,BC=3.
C
(1)若
(2)若CD=1,cs
, 求sin∠BDC的值；
A=3csC, 求VABD的面积.
18 . (17分)
如图，在菱形ABCD中 ，∠BAD=60°,AB=4,AD=4AE,AF=FB,GC=2DG.
(1)用AB,AD表示EF,EG;
(2)求AB·EF+AD · EG;
(3)若P 是菱形ABCD内(含边界)一动点，求PA·PB 的取值范围.
19 . (17分)
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马 在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当VABC的三 个内角均小于120°时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点0为费马点；当VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的 问题：在VABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 且acsC+ √3asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)已知a=1, 点M 为VABC的费马点.
(i) 若∠ABC=45°, 记 ∠MBC=θ, 求tanθ;
(jii) 求 MA·MB+MB·MC+MC·MA的取值范围.
福州市八县(市)协作校2025-2026学年第二学期期中联考
高一数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 . 在每小题给出的四个选项 中，只有 一 项是符合题目要求的 .
1. 已知复数 , 则 | 2 | = ( )
C.√5 D.5
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算得到z=2+i, 再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】因 ,所以|z|= √4+1= √5,
故选：C.
2. 若e,e₂ 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是().
e+e 和e- e₂ B. 3e₁-2e₂ 和-6e +4e₂
C.e₁+3e₂ 和 3e₁+e₂ D. e 和e+e₂
【答案】B
【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基 底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】因为向量e,e₂ 是平面内的一组基底，可得向量e,e₂ 为平面内不共线向量，
对于A中 ， 设e₁+e₂=λ(e₁-e₂), 可 得 此时方程组无解，
所以向量e+e₂ 和e-e₂ 不共线，可以作为平面的一组基底，A 正确；
对于B 中，设3e₁-2e₂=2(-6e+4e₂),
可 得
试卷第1页，共18页
所以向量3e-2e 和-6e₁+4e₂ 为共线向量，不能作为平面的一组基底，B 错误；
对 于C中，设e+3e₂=2(3e₁+e₂), 可 得 此时方程组无解，
所以向量e₁+3e₂ 和 3e+e₂ 不共线，可以作为平面的一组基底，C 正确；
对于D 中，设e₂=λ(e₁+e₂), 可 得 此时方程组无解， 所以向量e₂ 和 e+e 不共线，可以作为平面的一组基底，D 正确. 故选B.
3.一物体在力テ的作用下，由点A(4,0) 移动到点B(2,4). 若 F=(-2,3), 则下对该物体 所做的功为( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
【答案】D
【分析】根据功W=AB·F, 即可求得物体所做的功.
【详解】由题意可知AB=(2,4)-(4,0)=(-2,4),F=(-2,3),
AB·F=-2×(-2)+4×3=16,
所以下对该物体所做的功为16.
故选：D.
4. 已知某圆锥的底面积为4π,轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面积得到底面圆半径为2,轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线 长，再代入圆锥的侧面积公式求解.
【详解】因为底面积为4π,所以圆锥的底面半径为2,轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为4, 所以S=πrl=π×2×4=8π .
故选：B.
5. 设 a,b 是向量，则“(a+b)(a-b)=0” 是“a=-b 或a=b” 的( ) .
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知(a+b)·(a-b)=0 等价于|a|=|b|, 结合充分、必要条 件分析判断.
【详解】因为( a+b)·(a-b)=a²-b²=0, 可得a²=b², 即à|=|6|,
可知(a+b)·(a-b)=0 等价于|à|=|6| ,
若a=b 或a=-6, 可得|a|=|6|, 即(ā+b) · (a-b)=0, 可知必要性成立； 若( a+b)·(a-b)=0, 即la|=|6|, 无法得出a=b 或a=-b,
例如a=(1,0),b=(0,1), 满足|à|=|6|,但a≠b 且a≠-b, 可知充分性不成立；
综上所述，“(a+b)·(a-b)=0” 是“a=-b 或a=b” 的必要不充分条件.
故选：A.
6. 三棱锥S-ABC 中，AB⊥AC , SA⊥平面ABC,AB=AC=2,SA=3, 球O 是三棱 锥S-ABC 的外接球，则球O 的体积是( )
A
B.
【答案】A
【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可.
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥S-ABC 补形为长、宽、高分别为2,2,3的长方 体，且三棱锥S-ABC 的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为
试卷第3页，共18页
则球O 的体积
故选A.
S
B
7. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部 C在西偏北30°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此铁塔底部C 在西偏北75°的方 向上，塔顶D 的仰角为30°,则此铁塔的高度为()
A.150√6m B.150√3m C.50√6m D.50√3m
【答案】C
【分析】设此铁塔高h(m), 在直角△BCD中，可得BC=√3h, 再 在VABC中，利用正 弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】设此铁塔高h(m), 根据题意，可得∠CAB=30°,∠CBA=105°,∠DBC=30°,
在直角△BCD中，可得
在VABC中，由∠BAC=30°,∠CBA=105°,AB=300, 可 得 ∠BCA=45°,
根据正弦定理，可得 ,解得h=50√6(m). 故选：C.
8. 在 VABC中 ，CA=CB=√5,AB=4, 点 M 为VABC 所在平面内一点且AM·BC=0,
则AM·CM 的 最 小 值 为 ( )
A.0
【答案】D
【分析】以BC 所在直线为x 轴，以其上的高线为V轴建立平面直角坐标系，设出点M 的 坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.
【详解】在三角形ABC中，由余弦定理,故 C 为钝角；
又AM·BC=0, 故M 点在三角形ABC底边BC 的高线上，
则以BC所在直线为x 轴，以其上的高线为V轴建立平面直角坐标系如下所示：
y
A
O C B x
M
,则
则 , 设M (0, m),m∈R,
也即AM·CM 的最小值为 故选：D.
当且仅当时取得等号；
试卷第5页，共18页
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 .
9. 已知平面向量 , b=(4,y), 则正确的有( )
A. 若 a//b, 则y=- \l "bkmark5" 8
B. 若a⊥b, 则y=- \l "bkmark6" 2
C. 若a,b 的夹角为钝角，则y>2
D. 若 y=2, 则a 在a+b 方向上的投影向量是(1,0)
【答案】ACD
【详解】解：因为a=(1,-2),b=(4, y),
对于A: 若 ,则1×y=-2×4, 解得y=-8, 故 A 正确；
对于B: 若a⊥b, 则a·b=1×4+(-2)×y=0, 解得y=2, 故 B 错误；
对于C: 对于B, 若 a 与b 夹角为炖角，则cs 大于0且a 与b 不共线，
则,解得y>2, 故 C 正确；
对于D: 因为y=2, 所 以b=(4,2), 所 以a+b=(5,0),
所以a(a+b)=5,|a+5|=5, 所以a 在a+b 方向上的投影向量是
故D 正确；
故选：ACD.
10.根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
B.b=5,c=7,
C.a=4,b=3, D.a=2,b=√3,
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即 大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解.
【详解】对于A, 由正弦定理得： , 解 得sin B=1,
根据B∈(0,π), 可 得 ： 显然不满足内角和为180°,故A 错误；
对于B, 由正弦定理得： , 解 得
根据B∈(0,π), 且 B