福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二下学期期中联考试题 数学 含答案

这是一份福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二下学期期中联考试题 数学 含答案，共12页。
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则实数的值为（ ）
A．5B．3C．10D．5或3
2．2025年福清市元宵晚会共有3个语言类节目，2个杂技魔术类节目，5个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A．B． C．D．
3. 函数在处可导，若，则（ ）
A．1B．C．3D．−1
4．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（ ）
A．B．C．1D．
5．近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户。小米直播间共有8位主播（3男5女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（ ）
A．18 B．24C．14D．30
6．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为则大小为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上的最大值为3，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
8．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利。某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A．B．
C．展开式常数项为D．展开式中各项系数和为−1
10．随机变量分布列如右表，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，，若,则 ．
13．某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为 ．
14．某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则 ， ．
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．(13分)
在的展开式中，求．
(1) 含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．(15分)
某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．
求该100名居民的每日睡眠时长的
第50百分位数（保留两位小数）；
（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．
17．(15分)
设曲线在处的切线与轴交于点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
18．(17分)
甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分。请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
19．(17分)
在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为"光洁曲线"。曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ．
（1）若是“超光洁函数”，求的取值范围；
（2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
（3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
高二数学参考答案及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．
1.A2. D3.B4. B
5.C6.C7.D8.C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．
9.AC10.BCD11.ACD
二、填空题：每小题3分，满分15分．
12．13．0.179214．;
三、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (1)由题知展开式的通项为，
.2分
令,解得.3分
所以展开式中含项为5分
所以展开式中含项的系数为60. 6分
(2) 令,.7分
∴8分
当时，9分
当时，10分
当时， 11分
当时， 12分
综上所述，展开式中所有的有理项分别为 13分
16. (1)由题意得2分
所以3分
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
法1：因为：
所以50%分位数一定位于内，5分
由（小时），7分
法2：由题意得2分
所以3分
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
设第50百分位数为x，则，5分
解得7分
(2) 每日睡眠时长在内居民人数分别为2，4，48分
所以X可取0，1，2，39分
，，
，，13分
所以X的分布列为
数学期望15分
17. 解：(1)由，
得1分
令，则3分
所以曲线在点处的切线方程为
5分
∵点在切线上，可得6分
解得.7分
(2)由(1)知且的定义域为，
8分
则9分
令解得10分
则、、的变化情况如下：
12分
所以在和上单调递增，在上单调递减；
13分
所以的极大值为，的极小值为.
15分
法2：（1）同解法一；
(2)由(1)知且的定义域为，
8分
则9分
令解得10分
当或时，故的单调递增区间是和；
12分
当时，故的单调递减区间是；13分
所以的极大值为，的极小值为.
15分
18.(1) 记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件1分
于是，与为互斥事件，2分
由于，4分
6分
则，即甲最终获胜的概率为，7分
（2）由（1）可知，8分
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取9分
11分
则的分布列为：
则12分，
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，013分
14分
则的分布列为：
则15分
所以16分
答：方案一始终更优17分
19.（1）解法1：设，则
1分
由题意可知恒成立，2分
故，即3分
故，解得4分
解法2：设，
则1分
由题意可知恒成立，2分
故在上恒成立，
即，在上恒成立，3分
4分
（2）解法1：设直线与曲线相切于点
则5分
设直线与曲线相切于点
则6分
因此有7分
整理得，解得或8分
当时，的方程为9分
当时，的方程为10分
（2）解法2：设直线与曲线相切于点
则，5分
设直线与曲线相切于点
则，6分
7分
整理得，解得或8分
当时，的方程为9分
当时，的方程为10分
（3）解法1：设，则
11分
令，
则，12分
通过求导易证：13分
所以，即
所以在上单调递增，又时，
所以时，，所以
所以在上单调递增14分
所以，即，
所以15分
同理，
累加可得
即17分
解法2:11分
令，则12分
通过求导易证：13分
所以，即，
所以在上单调递增14分
令
则，又单调递增，所以，则在上单调递增，
又当所以时，，
所以，即，
所以16分
所以
即17分X
0
1
2
3
P
单调递增
单调递减
单调递增
5
3
0