福建省福州市（八县市）协作校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省福州市（八县市）协作校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附答案），共13页。
【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，则z在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001,002,…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A.331 B.047 C.447 D.672
3．在如图所示的电路中，两个开关，闭合与否相互独立，且在某一时刻，闭合的概率分别为，，则此时灯亮的概率为
A． B． C． D．
4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
6. 是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是
A．B．C．D．
7. 已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值是
A．B．3C．D．
8.由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m,此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为 （单位：m)
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则
A．这组数据的中位数等于平均数
B．这组数据的第60百分位数是55
C．污水净化量逐年递增
D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
10.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形，其中两条侧棱长都为，则
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．该阳马的表面积为
D．该阳马外接球的表面积为
11.设中，内角所对的边分别为，若，，外一点，且在直线的异侧，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则四点共圆
C．
D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则_____. 13.已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为________.
14.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若两两垂直且相等，证明：平面.
16．已知复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若集合，求点（其中）在第一象限的概率.
17.在中，内角所对的边分别为满足.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积.
18.为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
(1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数；
(2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差；
(3)在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
19.如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
(1)如图2，当底面水平放置时，水面高为多少?
(2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少?
(3)试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.

高一 数学试卷
【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
多项选择题
填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
2 13. 14.
解答题（本题共5小题，共77分）
15.解答：（本题满分13分）
（1）如图，取中点,连接，
四边形为矩形

点是的中点
，且. ……………………………………………………………1分
分别为的中点
，且 ……………………………………………………………2分
且 …………………………………………………………3分
四边形为平行四边形，则. ……………………………………4分
平面，平面 ……………………………………5分
平面 …………………………………………………………6分
（2）
且 平面 ………………………………………………7分
平面 ……………………………………………………8分
四边形为矩形
平面 …………………………………………………………9分

…………………………………………………………10分
在中，，为的中点
. …………………………………11分
，平面
平面PCD …………………………………………………………12分
且由（1）知
平面 …………………………………………………………13分
16.解答：（本题满分15分）
(1)是纯虚数
得， ……………………………………………………………3分
解得， ……………………………………………………………5分
……………………………………………………………6分
的对应的点在第三象限
得 ……………………………………………………………8分
解得且
所以的取值范围为. ………………………………………………9分
………………………………………………10分
则 P点坐标的样本空间包含的样本点有：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），
（-1，2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）,（1，-1），（1，0），
（1，1），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1），（2，2），共16个，即
………………………………………………12分
记事件“P点在第一象限”，则事件包含的样本点有（1，1），（1，2），
（2，1），（2，2）共4个，即 …………………………………13分
…………………………………14分
答:P点在第一象限的概率为. …………………………………15分
17.解答：（本题满分15分）
（1）
由正弦定理得：
…………………………………………1分
三角形内角A、B、C ……………………………………2分
……………………………………3分
即 ……………4分


……………………………………………………………5分
. ……………………………………………………………6分
（2）解法一：
，为中点，则
由余弦定理得 ………………………………7分
得 ……………………………………………………………8分
在中，
在中， …………………………10分
……………………………………………………………11分
…………………………………………………12分
解得： ……………………………………………………………13分
的面积为 ………………………………15分
解法二：
为的中点，则， ……………………………………………7分
…………………9分
即 ……………………………………………………………10分
由余弦定理可得，即 …………………12分
解得： ……………………………………………………………13分
的面积为. ……………………………15分
18.解答：（本题满分17分）
（1）由题意可知：，
解得， ……………………………………………2分
由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05
平均数：………………………4分
（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为
且两组频率之比为 ……………………………………………5分
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 …………7分
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
. ………………………………9分
估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101. ………………………10分
（3）根据分层抽样，和的频率比为 ……………………11分
在和中分别选取1人和5人，分别设为和 …………12分
则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
共15个，即 ………………………………………… 14分
记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共5个，即 ……………………………………………15分
. …………………………………………16分答:选出的两人来自不同组的概率为. …………………………………………17分
19.解答：（本题满分17分）
（1）记水面与棱分别交于点，
，为等腰直角三角形，，分别为棱的中点，
……………2分
当底面ABC水平放置时，设水面高为，
解得， …………………………………………3分
当底面ABC水平放置时，水面高为. …………………………………………4分
(2)三棱柱体积为64
三棱锥的体积为
空气部分的体积为，
当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图 …………………………5分

得 …………………………………………6分
记的中点为，连接，则
平面，平面
，
，平面
平面
平面
平面平面 ………………………………………………7分
直线在平面内的投影为
为直线与水平面所成角 ………………………………………………8分
， ………………………………………9分
水面到地面的距离为. ………………10分
（3）解法一：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图：
记的中点分别为，在上，且，
易知，为等腰直角三角形，设
整理得，平方得① …………………11分
平面，平面，平面平面
与的交点必在上
为棱台
整理得② ……………………………………………12分
联立①②可得， ……………13分
为平行四边形
……………………………………14分
易知为等腰梯形
为等腰梯形的高
水面面积
则
………………15分
当水面刚好过点时，
解得，
此时， …………………………………16分
由题意可知，则
记，
由二次函数性质可知，，即
，所以
即水面面积S的取值范围为. ……………………………………17分
解法二：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图：
记的中点分别为，在上，且，
易知，为正三角形，设
整理得，平方得① …………………11分
平面，平面，平面平面
与的交点必在上
为棱台
整理得② ……………………………………………12分
联立①②可得， …………13分
为平行四边形
……………………………………14分
…………………………………………15分
当水面刚好过点时，
解得
此时， …………………………………16分
令
由二次函数性质可知，，即
，所以
即水面面积S的取值范围为. ……………………………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
B
C
D
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AD
BD