2026届安徽省蚌埠二中高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届安徽省蚌埠二中高三最后一模数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了某市政府决定派遣名干部种，已知中，，则，已知集合，，，则集合，已知，则的大小关系为，已知复数等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
2．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．B．C．D．
4．已知中，，则（ ）
A．1B．C．D．
5．已知集合，，，则集合( )
A．B．C．D．
6．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的大小关系为
A．B．C．D．
8．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
10．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①以为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线与直线的斜率乘积为；
③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
11．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
12．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
14．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.
15．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.
16．若，则=____， = ___.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
19．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：
（1）是的中点；
（2）平面平面.
20．（12分）设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（10分）在平面直角坐标系xy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
2、D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
3、C
【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
4、C
【解析】
以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
5、D
【解析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果.
【详解】
，故可得.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题.
6、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
7、D
【解析】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
8、B
【解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】
因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
9、A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
10、D
【解析】
对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；
对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；
对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.
【详解】
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．
设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，
显然，，三点不共线，
则．所以①正确．
由题意可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所以．
则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，
，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．
由上，有，，
则．
所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．
于是，，
代入，，得，
所以．
所以③正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
11、B
【解析】
设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.
【详解】
设贫困户总数为，脱贫率，
所以.
故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.
故选：B
【点睛】
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
12、D
【解析】
由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，
又由，所以，
在直角中，因为，所以，
设外接球的半径为，
在中，可得，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、24
【解析】
先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.
【详解】
解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，
若甲乙两名护士到同一地的种数有，
则甲乙两名护士不到同一地的种数有.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.
14、
【解析】
设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．
【详解】
设切点坐标为，，，，
则曲线在点处的切线方程为，
由于该直线过原点，则，得，
因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
15、
【解析】
三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.
【详解】
边长为，则中线长为，
点到平面的距离为，
点是以为直径的球面上的点，
所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过和的两个平行平面间距离，
分别取中点，连，
则，同理，
分别过做，
直线确定平面，直线确定平面，
则，同理，
为所求，，
，
所以到直线最大距离为.
故答案为:；.
【点睛】
本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.
16、128 21
【解析】
令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.
【详解】
令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明，得到平面，得到证明.
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，
又因为是的中点，所以，又因为，，所以，
又，，，所以，
又，，所以平面，所以，
又因为是菱形，，所以，又，
所以平面，所以.
（2）由题意结合菱形的性质易知，，，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．
【点睛】
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
20、（1），
（2）.
【解析】
（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.
【详解】
由可得，
两式相减得，．
又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在直线上，所以．
则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则
因为，所以．
则，
两式相减得：．
所以．
【点睛】
用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.
21、（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.
(2) 以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.
【详解】
（1）证明：如图,取的中点,连接.
又为的中点,则是的中位线.所以且.
又且,所以且.所以四边形是平行四边形.
所以.因为,为的中点,所以.
因为,所以.因为平面,所以.
又,所以平面.所以.
又,所以平面.又,所以平面.
（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为,所以点.
则.设平面的法向量为,
由,得,
令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；
设二面角的大小为,则.
故二面角的余弦值是.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.
22、（1），，；（2）.
【解析】
（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；
（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程：
联立，得，又因为都满足两方程，
故两曲线的交点为，.
（2）易知，直线.
设点，则点到直线的距离
（其中）.
面积的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加用户比
脱贫率