2025-2026学年福建省福州市鼓楼区格致中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省福州市鼓楼区格致中学高二（下）期中数学试卷，共40页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}是公比为的等比数列，则=（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
2.若，则f'（2）=（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
3.在的二项展开式中，x2的系数为（ ）
A. B. C. D.
4.有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（ ）
A. 24B. 48C. 72D. 120
5.已知函数f（x）满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.某旅馆剩余三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有四个成人带两个小孩子来此住宿，小孩子不宜单住一间（必须有成人陪同），则不同的住宿方法共有（ ）
A. 72种B. 48种C. 36种D. 27种
7.已知函数在区间[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. （-∞，12）B. C. （-∞，12]D.
8.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-4，，则最大时n=（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=9，an+1-an=-3，则下列说法正确的是（ ）
A. {an}是递增数列B. S9-S4=5a7
C. 当n≥4时，an＜0D. Sn取到最大值时，n=3或n=4
10.若，则（ ）
A. a0=2
B. a0+a1+a2+⋯a2026=1
C.
D. a0+2a1+3a2+4a3+⋯+2027a2026=-2025
11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A. 函数f（x）=csx是“不动点”函数
B. 函数f（x）=ex-1只有一个不动点
C. ∃a∈R，使得函数存在两个不动点
D. 若函数f（x）=a•ex（a∈R）存在两个不动点x1和x2，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则它的离心率为 .
13.已知数列{an}中，满足a1=1，，则数列{an}的通项公式an= .
14.将1，1，3，5，6，6，6，6，6这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有 种.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处有极值2．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，]上的最值．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和
17.(本小题15分)
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且，M是PB中点.
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；
（3）设平面ADM与棱PC交于点N，求MN与平面PAD所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）已知点O为坐标原点，若点B在椭圆C上.
（i）已知，求△AOB面积的最大值；
（ⅱ）设过点P的直线l与x轴交于点D，若直线l与PB垂直，，求点B的坐标.
19.(本小题17分)
已知a∈R，f（x）=xlnx,g（x）=（x+a）ex.
（1）讨论g（x）在（0，+∞）单调性；
（2）求证：；
（3）已知直线y=k（k∈R）与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，若f（x1）=f（x2）=g（x3）=g（x4），其中x1≠x2，x3≠x4，求证：.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1512
324

15.【答案】解：（1）因为f（x）=ax3+bx在x=1处有极值2，
所以，
解得a=-1，b=3．
（2）由（1）得f（x）=-x3+3x，
f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，
所以f（x）在[-2，-1）上单调递减，在（-1，]上单调递增，
所以f（x）的最大值是f（-2）或f（），最小值为f（-1）=-（-1）3+3×（-1）=-2
而f（-2）=2＞f（）=，
所以函数f（x）的最大值为2，最小值为-2．
16.【答案】由a1=3，，
可得=+1，
则数列是首项为==1，公差为1的等差数列；an=（2n+1）•3n-1
17.【答案】因为PA⊥平面ABCD，CDC⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
在直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥DC，
所以AD⊥CD，
因为PA∩AD=A，PA，ADC⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
又因为CDC⊂平面PCD，
所以平面PAD⊥平面 PCD
18.【答案】 （i）；（ⅱ）或
19.【答案】当a＜-1时，函数g（x）在（0，-a-1）上单调递减，在（-a-1，+∞）上单调递增；当a≥-1时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增 证明：对任意的x＞0，要证，即证，
构造函数，其中x＞0，
，
当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0，
所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故对任意的x＞0， 证明：因为f（x）=xlnx，则f'（x）=lnx+1，g'（x）=（x+1+a）ex，
设直线y=k与f（x）=xlnx的切点为（x0，f（x0）），
则f'（x0）=1+lnx0=0，解得，所以，
由直线y=k与g（x）=（x+a）ex相切，同理得k=-e-1-a，
所以，
设f（x1）=f（x2）=g（x3）=g（x4）=b，则直线y=b与y=f（x）有两个不同的交点，与y=g（x）有两个不同的交点，
由（1）知，f'（x）=1+lnx＞0⇒x＞e-1，f′（x）=1+lnx＜0⇒0＜x＜e-1，
所以f（x）在（0上单调递减，在，+∞）上单调递增；g'（x）=（x+1）ex＞0⇒x＞-1，g'（x）=（x+1）ex＜0⇒x＜-1，
g（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，，且当x→0时，f（x）→0，
g（0）=0，，且当x→-∞时，g（x）→0，
作出函数f（x）和g（x）的图象如下图所示，

不妨设x1＞x2，x3＞x4，则，x4＜-1＜x3＜0，
显然，且-1＜lnx1＜0，-1＜x3＜0，所以x3=lnx1，
同理x4=lnx2，
要证，只需证，只需证，
又x1lnx1=x2lnx2＜0，只需证lnx2-x2＜lnx1-x1（⋆），
令函数t（x）=lnx-x（0＜x＜1），则，
所以函数t（x）在（0，1）上单调递增，
由0＜x2＜x1＜1得t（x2）＜t（x1），所以（*）显然成立，
综上，