湖南省2026年高二下学期学业水平合格考数学考前模拟卷一试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省2026年高二下学期学业水平合格考数学考前模拟卷一试卷（Word版附解析），共8页。
A． B． C． D．
2．（3 分）已知盒中有 10 张纸条，分别写着 共 10 个数字，随机抽出一张，则恰好抽到 3 的倍数或抽
到 4 的倍数的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．（3 分）函数 的定义域为（ ）
A． 或 B． C． D． 且
4．（3 分）已知复数 的实部是虚部的 2 倍，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（3 分）设函数 的定义域为 ， ，则“ 在区间 ， 上的最大值为 （b），最小值为 （a）”
是“ 在区间 ， 上单调递增”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（3 分）已知向量 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3 分） （ ）
A． B． C． D．
9．（3 分）若 ，则 （ ）
A．2 或 B． 或 C．2 D．
10．（3 分）已知正方体 中， 、 、 分别是棱 、 、 的中点， 是线段
上的动点．则下列直线中，始终与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
第 1页（共 13页）
11．（3 分）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（3 分）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．（3 分）△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．（3 分）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（3 分）已知向量 分别表示位移“向北偏东 方向 ”“向东偏南 方向 ”，则向量
表示位移（ ）
A．向正北方向 B．向正南方向
C．向西北方向 D．向东南方向
16．（3 分）△ 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．（3 分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氮化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表
明，臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量， 为常数，经过测
算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 280 年将有一半的臭氧消失．按照这样变
化规律，再经过 年，臭氧含量只剩下初始含量的 ， 约为（参考数据： ， （ ）
A．448 B．392 C．360 D．640
18．（3 分）已知 ， ， 为空间中不重合的平面， ， 为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
19．（4 分）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某
社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取 20 名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为 7.2，
第 2页（共 13页）
7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这
组数据的第 60 百分位数是 ．
20．（4 分）已知 ， ，则代数式 的取值范围为 ．
21．（4 分）函数 的值域是 ．
22．（4 分）已知 ， ，则 的坐标是 ．
三．解答题（共 3 小题）
23．在一个盒子中有 6 个红球和 2 个黑球，这 8 个球除颜色外没有其他差异．现从中依次随机地取出 2 个
球．
（Ⅰ）若采用放回方式抽取，求两次取到的球颜色不同的概率；
（Ⅱ）若采用不放回方式抽取，求两次取到的球颜色相同的概率．
24．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， 分别为 ， 的中点， 为线段
上一动点， 平面 ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）当 时，证明： 平面 ；
（Ⅲ）若 ，四面体 的体积等于四棱锥 体积的 ，求 的值．
25．已知函数 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ．若对任意 ， ，总存在 ， ，使得 成立，求实
数 的取值范围．
第 3页（共 13页）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 18 小题，满分 54 分，每小题 3 分）
1．（3 分）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由 ， ，
得 ．
故选： ．
2．（3 分）已知盒中有 10 张纸条，分别写着 共 10 个数字，随机抽出一张，则恰好抽到 3 的倍数或抽
到 4 的倍数的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】
【解答】解：根据题意，盒中有 10 张纸条，随机抽出一张，共 10 种情况，
则恰好抽到 3 的倍数或抽到 4 的倍数的数有：3，4，6，8，9，共 5 种情况，
故要求概率 ．
故选： ．
3．（3 分）函数 的定义域为（ ）
A． 或 B． C． D． 且
【答案】
【解答】解：由对数函数性质可知 解得 或 ．
故选： ．
4．（3 分）已知复数 的实部是虚部的 2 倍，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解答】解：复数
，
第 4页（共 13页）
复数 的实部是虚部的 2 倍，
，
则实数 ．
故选： ．
5．（3 分）设函数 的定义域为 ， ，则“ 在区间 ， 上的最大值为 （b），最小值为 （a）”
是“ 在区间 ， 上单调递增”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解答】解：若 在区间 ， 上的最大值为 （b），最小值为 （a），此时 在区间 ， 上不
一定单调，充分性不成立；
但当 在区间 ， 上单调递增时， 在区间 ， 上的最大值为 （b），最小值为 （a），必要
性成立．
故选： ．
6．（3 分）已知向量 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由 ．
对于 ， ，故 错误；
对于 ，由 ，得 不成立，故 错误；
对于 ，由 ，得 不成立，故 错误；
对于 ，若 ，则 ，符合，故 正确．
故选： ．
7．（3 分）若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：若 ， ，由不等式的性质可得， ，故 错误， 正确；
因为 ，则 ，故 错误；
第 5页（共 13页）
因为 ，所以 ，故 错误．
故选： ．
8．（3 分） （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：
．
故选： ．
9．（3 分）若 ，则 （ ）
A．2 或 B． 或 C．2 D．
【答案】
【解答】解：由题意 ，
若 ，可得 ，与 矛盾；
故 ，可得 ，可得 ，解之得 或 ．
故选： ．
10．（3 分）已知正方体 中， 、 、 分别是棱 、 、 的中点， 是线段
上的动点．则下列直线中，始终与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，由异面直线的定义，可得 始终与直线 异面，符合题意；
对于 ，当 与 重合时， ，不符合题意；
第 6页（共 13页）
对于 ，连接 ， 、 、 ，有 ，则有 与 相交，故当 与 重合时，有 与
相交，不符合题意；
对于 ，取 的中点 ，连接 与 交于点 ，连接 、 ，
由于 且 ，四边形 是平行四边形，必有 与 相交，
故 与 重合时， 与 相交，不符合题意，
故选： ．
11．（3 分）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解： ：当 时，显然不正确；
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，不正确；
：因为 ， ，所以有 ，正确；
：因为 ， ，所以有 ，
即 ，不正确．
故选： ．
12．（3 分）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
第 7页（共 13页）
【答案】
【解答】解：因为 ， ， ，
故 ．
故选： ．
13．（3 分）△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解答】解：因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，可得 ，
整理可得 ，
解得 或 （舍去）．
故选： ．
14．（3 分）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由题意得 ，
，
所以
．
故选： ．
15．（3 分）已知向量 分别表示位移“向北偏东 方向 ”“向东偏南 方向 ”，则向量
表示位移（ ）
A．向正北方向 B．向正南方向
C．向西北方向 D．向东南方向
【答案】
【解答】解：因为向量 分别表示位移“向北偏东 方向 ”“向东偏南 方向 ”，
第 8页（共 13页）
所以建立平面直角坐标系，如图，
则 ，
所以 ，
所以向量 表示位移为：向正北方向 ．
故选： ．
16．（3 分）△ 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：因为△ 中， ， ， ，
所以由正弦定理 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，又 为三角形内角，
所以 或 ，
所以 ．
故选： ．
17．（3 分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氮化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表
明，臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量， 为常数，经过测
算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 280 年将有一半的臭氧消失．按照这样变
化规律，再经过 年，臭氧含量只剩下初始含量的 ， 约为（参考数据： ， （ ）
A．448 B．392 C．360 D．640
【答案】
第 9页（共 13页）
【解答】解：由题可知， ，
即 ，
两式相比得 ，解得 ．
故选： ．
18．（3 分）已知 ， ， 为空间中不重合的平面， ， 为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】
【解答】解：若 ， ，则 或 ，所以 选项错误；
若 ，则在 内存在直线 ，使得 ，
又 ， ，故 ，则 ，所以 选项正确．
若 ， ，则 与 可以成任意角，所以 选项错误；
若 ， ， ，则 或 与 异面，所以 选项错误．
故选： ．
二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）
19．（4 分）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某
社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取 20 名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为 7.2，
7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这
组数据的第 60 百分位数是 ．
【答案】8.9．
【解答】解：已知心理健康指数分别为 7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，
9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，
因为 ，所以这组数据的第 60 百分位数为 ．
故答案为：8.9．
20．（4 分）已知 ， ，则代数式 的取值范围为 ．
【答案】 ．
【解答】解：根据题意，因为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
第 10页（共 13页）
所以 ，即代数式 的取值范围为 ．
故答案为： ．
21．（4 分）函数 的值域是 ．
【答案】 ， ．
【解答】解：因为 ， ，
函数 ．
故答案为： ， ．
22．（4 分）已知 ， ，则 的坐标是 ．
【答案】
【解答】解：根据题意， ， ，
则 ．
故答案为： ．
三．解答题（共 3 小题）
23．在一个盒子中有 6 个红球和 2 个黑球，这 8 个球除颜色外没有其他差异．现从中依次随机地取出 2 个
球．
（Ⅰ）若采用放回方式抽取，求两次取到的球颜色不同的概率；
（Ⅱ）若采用不放回方式抽取，求两次取到的球颜色相同的概率．
解：（Ⅰ）采用放回方式抽取，两次取到的球颜色不同的概率为：
．
（Ⅱ）采用不放回方式抽取，两次取到的球颜色相同的概率为：
．
24．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， 分别为 ， 的中点， 为线段
上一动点， 平面 ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）当 时，证明： 平面 ；
（Ⅲ）若 ，四面体 的体积等于四棱锥 体积的 ，求 的值．
第 11页（共 13页）
解：（Ⅰ）证明： 底面 是正方形， ，
设 ，则 为 中点，又 ， 分别为 ， 的中点，
，又 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
，又 ，且 ，
平面 ，又 为线段 上一动点，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（Ⅱ）证明：当 时，连接 ， ，设 ，
则 为三角形 的中位线， ，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（Ⅲ） 为三角形 的中位线， ，
设 ，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离的 倍，
四面体 的体积为：
，
， ，
．
第 12页（共 13页）
25．已知函数 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ．若对任意 ， ，总存在 ， ，使得 成立，求实
数 的取值范围．
解：（1）令 ，则 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，
当 ， 时， 单调递减，
又因为 ， ，
所以 ， ，
因为 在 ， 上单调递增，
所以当 ， 时， ， ，
因为对任意 ， ，总存在 ， ，使得 成立，
所以只需 ，
由题意，得 ，
解得 ．
故实数 的取值范围是 ， ．
第 13页（共 13页）