湖南省湘一名校联盟2026届高三下学期二模数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.
A. 1 B. -1 C. i D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 .
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,得 ,即 ,所以 ,又 ,所以
3.已知向量 满足 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,即 ,即 ,所以 ,所以 .
4.已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形,侧面展开图是圆心角为 的扇形,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为 ,则圆锥的底面半径 ,因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 关于 单调递增,逐个验证各选项可知当 时符合题意.
5.在一次校园活动的组织过程中, 由甲、乙等 5 名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目, 每名同学只负责一个服务项目, 且每个服务项目至少有一名同学负责. 若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有
A. 18 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 54 种
【答案】B
【解析】将甲、乙视为 1 个人,即相当于将 4 名同学安排到 3 个项目的方案,有 种.
6.如图,函数 的图象与 轴交于点 ,与直线 的两个交点为 ,若 ,则
A. B. C. D. -1
【答案】C
【解析】由 ,得相邻两解差的绝对值的最小值为 ,所以 ,解得 .
由 的图象过点 ,得 ,
结合图象特征 (在 处函数值为负且单调递减),可取 ,
则 ,所以 .
7.已知点 在直线 上移动，椭圆 以 和 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆 的长半轴长为 ,短半轴长为 ,半焦距为 ,则 ,
由题意得 ,则 ,故可设椭圆方程为 ,
联立得 消去 ,得 ,
由题意得 ,即 ,
解得 或 (舍去),得 ,
所以 ,即离心率 的最大值为 .
8.若关于 的方程 在 上有解,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ,得 ,
即 ,即 .
设 ,则 ,
因为 0,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 .
设 ,则 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,当 时, ,
则 在 上单调递增,所以 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是
A. 样本数据13,15,24,12,18,27,21,26,19,23的第 70 百分位数为 23
B. 若一组样本数据 的方差 ,则这组样本数据的总和为 60
C. 若随机变量 服从二项分布 ,则
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】对于 ,样本数据13,15,24,12,18,27,21,26,19,23共 10 个数,从小到大排列为12,13,15,18,19,21, 23,24,26,27,由于 ,故第 70 百分位数为第 7 和第 8 个数的平均数,即 ,故 错误;
对于 ,由方差的公式可知,这组样本数据的平均数是 6,这组样本数据的总和为 ,故 正确;
对于 ,易得 ,则 ,故 正确;
对于 ,若 服从正态分布 ,则 ,故 正确.
10.已知数列 满足 ，则下列结论正确的是
A. 是递增数列 B. 当 时，
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ,易知 ,由 ,得 ,所以 ,所以 是递增数列,故 正确;
对于 ,由对 的分析,知 ,所以 (仅当 时取等号),
由 , 得 ,
所以当 时, ,
所以当 时, ,
因此当 时, ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,
由对 的分析知,当 时, ,所以 ,
故当 时, ,
所以 ,故 C 错误;
对于 ,由 ,得 ,即 ,所以 ,故 D 正确.
11.如图，平面 平面 ， 为线段 的中点， ，直线 与平面 所成角的大小为 ， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是
A. 球心为 、半径为 的球面被平面 截得的圆周长为
B. 若点 到点 和点 的距离相等,则点 的轨迹是抛物线
C. 若点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为
D. 满足 的点 的轨迹是椭圆
【答案】AC
【解析】对于 ,因为直线 与平面 所成角的大小为 ,所以点 到平面 的距离 ,球心为 、半径 的球面被平面 截得的图形为圆,圆的半径 ,所以圆的周长为 ,故 A 正确;
对于 ,因为平面 平面 ,所以以 所在直线为 轴,在平面 内过点 作 轴 ,在平面 内作 轴 ,建立如图 1 所示的空间直角坐标系,则 ,设 , ,由 ,得 ,化简得 ,故点 的轨迹是一条直线,故 错误;
对于 ,由上面的分析知 ,所以点 到直线 的距离为 ,可得 ,所以点 的轨迹是平面 内的椭圆 ,如图 2,当 为短轴的端点时, 最大,由于 ,故 是正三角形,因此 ,故 C 正确;
对于 ,若 ,则 , ,化简得 且 ,故满足 的点 的轨迹是双曲线的一部分,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中 的系数为________.
【答案】90
【解析】 的展开式的通项为 ,
当 时, ,
此时只需乘第一个因式 中的 即可,得到 ;
当 时, ,
此时只需乘第一个因式 中的 即可,得到 .
据此可得 的系数为 .
13._______.
【答案】
【解析】 ,
又 ,
所以 ,
所以 .
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,其一条渐近线的斜率为 过点 且斜率存在的直线 与 的右支交于 两点. 若 分别为 和 作内心,且四边形 的面积为 ,则直线 的斜率的绝对值为________.
【答案】2
【解析】 ,半焦距 与 的右支有两个交点,
设 的斜率为 , 则 . 设 的倾斜角为 ,则 ,
由内心与角平分线的性质得 ,
所以 ,得 ,
所以 , 且 ,符合题意,故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在 中， 为 的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【解析】(1)因为 为 的中点,所以 , (1 分)
则 ,即 , (3 分)
因为 ,所以 , (4 分)
所以 ,即 . (5 分)
(2)不妨令 ，则 ， ，设 ，则 .
在 中,由余弦定理得 ,
即 . ① (8 分)
在 中，由余弦定理得 ，
即 . C (11 分)
①② 联立，解得 ， ，所以 . (13 分)
16.如图，在四棱锥 中， ，平面 平. 是棱 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】(1) 如图,取 的中点 ,因为 ,所以 , (1 分)
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 , (3 分)
又 平面 ,所以 , (4 分)
又 平面 平面 ,
所以 平面 . (6 分)
(2)因为 为 的中点， ，所以 .
过点 作 交 于点 ，由 平面 ， 平面 ，可得 ，则 .
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
17.已知函数 .
(1)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明: .
【解析】
(1) 由题得 , (1 分)
当 时， ， 在 上单调递减， 最多有一个零点，不符合题意； (2 分)
当 时,令 ,得 ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 , (4 分)
又 时, 时, ,
所以只需 ,解得 ,
故实数 的取值范围是 . (6 分)
(2)当 时， . (9 分)
令 ,则 ,
令 ,得 ,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 ,
所以当 时, . (12 分)
令 ,则 ,
令 ,得 ,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以 , (14 分)
因为 ,所以当 时, .
故当 时, . (15 分)
18.已知抛物线 ，过 上一动点 作斜率为 2 的直线 与 交于另一点 ， 当点 与原点 重合时, .
(1)求p.
(2)当 不经过点 时,直线 与 交于另一点 ,直线 与 交于另一点 .
( i ) 证明: ;
(ii)试判断直线 与 是否交于定点,若是,请求出定点的坐标,否则,请说明理由.
【解析】(1) 当点 与原点 重合时,直线 过原点且斜率为 2,其方程为 ,
联立得 得 ,解得 或 ,所以 . (2 分)
所以 ,
解得 . (4 分)
(2)由(1)知 ，设 ， ， ，直线 .
联立 与 ,得 ,
所以 且 . (6 分)
(i) 设 .
直线 过点 和 ,设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,则 ,
整理可得 . ① (8 分)
同理,对于直线 ,可得 . ② (9 分)
因为 ,所以 ,③
由①②作商，结合③，得 ，即 . (11 分)
所以 ,
所以 . (12 分)
(ii) 设 的中点为 的中点为 ,因为 ,所以直线 ,
又因为 ,所以 与 的交点即直线 与 的交点. (13 分)
由②③，得 ，所以 .
直线 的斜率 ,
直线 的方程为 . (15 分)
在该方程中,令 ,可得 ,所以直线 与 交于定点 ,
故直线 与 交于定点 . (17 分)
19.每届高考结束后,某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享. 2025 届高三年级班号依次为 0,1,2,...,27,高三 0 班的优秀学生代表为 2 名男生和 2 名女生, 其余各班的优秀学生代表均为 1 名男生和 1 名女生. 第一场分享会的 4 名学生嘉宾由从高三 0 班的优秀学生代表中选出的 2 名和高三 1 班的 2 名优秀学生代表共同组成, 第二场分享会的 4 名学生嘉宾由从上一场的 4 名嘉宾中选出的 2 名和高三 2 班的 2 名优秀学生代表共同组成, ..., 按照这样的方式, 依次进行到第二十七场分享会.
(1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 ,求 的分布列和数学期望.
【解析】(1)设第 场分享会的学生嘉宾中有 1 名男生为事件 ,有 2 名男生为事件 ,有 3 名男生为事件 ,则 . (3 分)
(2)
(7 分)
(3) 当 时,
(8 分)
(9 分)
(10 分)
由 ,得 ,
即有 ,又 ,所以 ,
所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
则 ,即 , (13 分)
结合对称性可知, 每次分享会的学生嘉宾中有 1 名男生的概率与有 3 名男生的概率相同,
故 ,又 ,
所以 . (14 分)
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数 的所有可能取值为1,2,3，其分布列为
则 . (17 分)1
2
3