2026年高考数学(通用版)压轴强化训练压轴13与球有关的切、接问题的(4大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学(通用版)压轴强化训练压轴13与球有关的切、接问题的(4大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)，共5页。

题型01 空间几何体的外接球
技法指导
（1）求几何体外接球半径的方法
①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.
（2）确定球心的常用结论
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
2.已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
所以，所以．
因为平面平面，
所以．
又，所以．
如图将三棱锥，补形为长方体，
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点．
又，即，所以球的半径为2，
故球的体积．故选C．
3.已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知，．
如图，将四面体ABCD放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型 ，
则解得
四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为，
故所求表面积为，故选C．
4.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
题型02 空间几何体的内切球
技法指导
空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.
5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高，
体积，表面积，
设该棱锥的内切球半径为，则，即，故选C
6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为三棱锥的体积：，
其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径.
所以.
所以这个三棱锥内切球的体积为：（），故选A
7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，作圆台的轴截面：

设，则，过作于，则，
又，，
在中，.
所以圆台的体积为：.
故选：C
8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
题型03 空间几何体的棱切球
技法指导
解决棱切球问题的常用方法
（1）外形：转化为内切球求解；
（2）找切点⇒定球心⇒构造直角三角形求解.
9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，
球H与棱分别切于，设球H的半径为，
则，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
则这个球的表面积为．
故选：B
10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，故选C.
题型04 与球切、接有关的最值问题
技法指导
求解与球切、接有关的最值问题的策略
（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的最值问题来解决；
（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；
（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.
11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立，故选：C
【利用导数求最值】
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．故选：C.
12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，
所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为，故选A.
1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，圆柱底面半径，母线长，
所以圆柱的表面积.
故选：C
2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高，
若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离，
所以，即，可得，
故外接球的表面积为，故选A
3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设棱的中点分别为，连接，
构造长方体，则长方体外接球的表面积
即为三棱锥外接球的表面积．依题意，，
设长方体外接球的半径为R，则，
所以其外接球的表面积．
故选：B
4．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
取线段的中点，连接、，则，
故为球的直径，故球的半径，
所以球的体积为 .
故选：C.
5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设是中点，连接，设的外心为，的外心为，
是四面体外接球球心，
由于和都是边长为的正三角形，
所以，
且分别在靠近E的三等分点处.
根据二面角 的大小为 及球的性质可知：
平面，平面，所以，
由于，所以四边形是正方形，
，，
设四面体外接球的半径为，则.
所以外接球的表面积为.
故选：A
6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，所以，，
又平面，平面，，
所以平面，
设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，
假设正八面体的棱长为，
则，，，
，，
因，则，且为正八面体的中心，
则点到平面的距离为内切球半径，
因为，即，
即，所以，
所以，故选：C.
7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
【答案】ABD
【解析】对于A，因为都是对应圆周上的点，是相应的圆的直径，
所以，所以，
因为平面平面，所以平面，A项正确：
对于B，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，B项正确；
对于C，若，因为，平面，
所以平面，则，
因为平面，所以，
这与矛盾，故直线与直线不可能垂直，C项错误；
对于D，因为均是以为斜边的直角三角形，
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，由于，
故三棱锥的外接球体积为定值，D项正确.
故选：ABD
8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
【答案】AC
【解析】选项A：由图1，在直角中，，，
因为，所以，且，
，，，，
由图2，在直角中，，
因为，且，所以，
所以在直角中，，又，
所以，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以；
在中，，，，所以，
即，又，平面，所以平面，故A正确；
选项B：因为，所以即为所求，
因为平面，平面，所以，
所以在直角中，，故B不正确；
选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等，
因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点，
同理可知为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确；
选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径，
所以，故D不正确.
故选：AC.
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图．
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为．
10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
【答案】6
【解析】如图，，，则，
由，则，当时，等号成立，即的最大值为6，

此时三棱柱的体积最大，最大体积为.
11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
【解】（1）连接，为半圆的切线，，
设，则，
，解得：，.
（2），，，，
将阴影部分绕直线旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球，
所求体积.
12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解】（1）依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）设球的半径为，由球的表面积公式，
解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连接，则，，，
则在，则，即，
解得（负值舍去），
则，所以，
又为中点，平面且，所以到平面的距离为，
所以.

13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，

小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得，
故选：C.
14.（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 .
【答案】
【解析】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，
则圆台体积，球体积，已知，.
由，得，把代入，，
所以.
则. .
则 ，化简得.
令，.当，；靠近时，变得很大，趋近正无穷，
所以范围是，即.