2026年山西省太原市高考数学四模试卷（含答案解析）

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）
A．5B．11C．20D．25
2．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．16B．17C．18D．19
3．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津的往返机票平均价格变化最大
C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加
4．当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
8．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）
A．B．C．D．
9．设，则
A．B．C．D．
10．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
11．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若为假，则实数的取值范围为__________.
14．已知，满足，则的展开式中的系数为______.
15．能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.
16．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
18．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
19．（12分）已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.
20．（12分）设函数（）的最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，证明：.
21．（12分）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.
22．（10分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（2）将表示为的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，
又，，为三角形的三边长，且最大内角为，
由余弦定理得，设首项为，
即得，
所以或，又即,舍去，，d=-2
前项和.
故的最大值为.
故选：D
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
2．B
【解析】
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.
【详解】
解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.
若输出 ，则不符合题意，排除；
若输出，则，符合题意.
故选:B.
本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.
3．D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.
对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.
对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.
对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.
故选：D
本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.
4．A
【解析】
根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.
【详解】
程序框图共运行3次，输出的的范围是，
所以输出的不小于103的概率为.
故选:A.
本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
5．A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了交集运算，属于简单题.
6．C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
7．D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
8．D
【解析】
画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数．
【详解】
画出函数
令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个
故选：D
本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．
9．C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．D
【解析】
由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.
【详解】
解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，
得，当时，.
故选D.
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
11．A
【解析】
所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
解：因为满足，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：．
本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
12．C
【解析】
先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解.
【详解】
因为的展开式的通项为，
所以的展开式中的常数项为：，
解得，
故选：C.
本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.
【详解】
因为为假，则其否定为真，
即为真，所以对任意实数恒成立，所以.
又，当且仅当，即时，等号成立，所以.
故答案为：.
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.
14．1
【解析】
根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．
【详解】
由题意，．
∴的展开式中的系数为．
故答案为：1．
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
15．答案不唯一，如
【解析】
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.
【详解】
由题意，不妨设，
则在都成立，
但是在是单调递增的，在是单调递减的，
说明原命题是假命题.
所以本题答案为，答案不唯一，符合条件即可.
本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题.
16．18
【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.
【详解】
解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,
已知其中三个个体的编号为5,31,44,
故还有一个抽取的个体的编号为18,
故答案为:18
本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为.
，由已知得，解得
∴，
令，得
令，得，∴在上单调递增.
令，得∴在上单调递减
∴的极小值点为，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，∴，
令，
即
∵，， ∴恒成立.
∴在上单调递增
又，∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴， 即
∴
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；
（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）因为
所以，
由得，
又因为，故，所以，
所以.
本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
19．t＝1
【解析】
把变形为结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为
即，当且仅当，，时，上述等号成立，
所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
20．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；
（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.
【详解】
（1）解：
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，取最小值.
（2）证明：由（1）可知.
要证明：，即证，
因为，，为正实数，
所以
.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.
21．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可；
（2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立.
令，则.
令，则，
，，
在上单调递增，又，
时，；时，，
即时，；时，，
时，单调递减；时，单调递增，
时，取最小值，
.
（2）证明：由，令，
由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，，
，
曲线的方程为.
故只需证明对任意，方程有唯一解.
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递增.
，，
，存在满足时，使得.
又单调递增，所以为唯一解.
②当时，二次函数，满足，
则恒成立，在上单调递增.
，，
存在使得，
又在上单调递增，为唯一解.
③当时，二次函数，满足，
此时有两个不同的解，不妨设，
，，
列表如下：
由表可知，当时，的极大值为.
，，
，，
，.
.
下面来证明，
构造函数，则，
当时，，此时单调递增，
，
时，，，
故成立.
，
存在，使得.
又在单调递增，为唯一解.
所以，对任意，方程有唯一解，即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.
本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
22．（1），众数为150；（2） ；（3）
【解析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．
【详解】
（1）由直方图可估计需求量的众数为150 ，
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
∴估计需求量的平均数为：
（2）当时，
当时，
∴
（3）由（2）知 当时，
当时，得
∴开学季利润不少于4800元的需求量为
由频率分布直方图可所求概率
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗