2026届山西省忻州市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届山西省忻州市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了在原点附近的部分图象大概是，已知，，，则的大小关系为，已知斜率为2的直线l过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知变量x，y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为，则表中数据m的值为（ ）
A．0.9B．0.85C．0.75D．0.5
5．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．在原点附近的部分图象大概是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．4
10．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.

A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元
11．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示月日至月日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）
A．月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．月日至月日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中项的系数为_______．
14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．
15．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
16．已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
18．（12分）如图，已知，分别是正方形边，的中点，与交于点，，都垂直于平面，且，，是线段上一动点.
（1）当平面，求的值；
（2）当是中点时，求四面体的体积.
19．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
20．（12分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值.
22．（10分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.
【详解】
如图所示，，
同时.
故选:C.
本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.
2．A
【解析】
试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A.
考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系
3．B
【解析】
函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．
【详解】
由题在上恒成立.即，
的图象永远在的上方，
设与的切点，则，解得，
易知越小，图象越靠上，所以.
故选：B．
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
4．A
【解析】
计算，代入回归方程可得．
【详解】
由题意，，
∴，解得．
故选：A.
本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点．
5．D
【解析】
根据演绎推理进行判断．
【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．
故选：D．
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
6．C
【解析】
在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.
【详解】
∵直线是曲线的一条对称轴.
，又.
.
∴平移后曲线为.
曲线的一个对称中心为.
.
，注意到
故的最小值为.
故选：C.
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
7．A
【解析】
分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，则函数为奇函数，排除C、D选项；
当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．A
【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】
因为，
所以.
因为，
所以，
因为，为增函数，
所以
所以，
故选：A.
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
9．C
【解析】
设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．
【详解】
由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），
∴y1+y2＝p，
又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,
故选C．
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
10．D
【解析】
设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．
【详解】
设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．
故选D．
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
11．D
【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；
当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；
【详解】
函数在内都有两个不同的零点，
等价于方程在内都有两个不同的根.
，所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.因此.
设，，
若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.
设其解为，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
因为，方程在内有两个不同的根，
所以，且.由，即，解得.
由，即，所以.
因为，所以，代入，得.
设，，所以在上是增函数，
而，由可得，得.
由在上是增函数，得.
综上所述，
故选：D.
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
12．D
【解析】
根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据月日至月日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，由图象可知，月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；
对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；
对于C选项，由图象可知，月日至月日新增确诊人数波动最大，C选项正确；
对于D选项，在月日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在月日左右达到峰值，D选项错误.
故选：D.
本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．40
【解析】
根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得
所以 ，解得
所以系数
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
14．
【解析】
由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，即，解得，
故的面积.
故答案为：
本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
15．
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】
解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
16．
【解析】
设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB
的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.
【详解】
设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB
的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示
因为，，所以，，，
又二面角的大小为，则，，所以
，
设外接球半径为R，则，，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）详见解析（3）29
【解析】
（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．
（2）可求，，通过反证法证明，
（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．
【详解】
（1）由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，
则，，
得，
故．
（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，，．
得，，，．
所以若，则存在，，使，
若，则存在，，，使，
因此，对于正整数，考虑集合，，，
即，，，，，，．
下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，
又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，
不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，
所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，
则存在，使，，，即，，，
由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，
设，则，且，，，，
所以，当，时，对于整数，若，则成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．
则对于整数，存在，，，，，使成立，
整理，得，
又因为，，
所以且是7的倍数，
因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．
所以对于整数，若，则，
又由第二问，对于整数，则，
所以的最大值，就是集合中元素的最大值，
又因为，，，，
所以．
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
18．（1）.（2）
【解析】
（1）利用线面垂直的性质得出，进而得出，利用相似三角形的性质，得出，从而得出的值；
（2）利用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出四面体的体积，计算出，，即可得出四面体的体积.
【详解】
（1）因为平面，平面，所以
又因为，都垂直于平面，所以
又，分别是正方形边，的中点，且，
所以
.
（2）因为，分别是正方形边，的中点，所以
又因为，都垂直于平面，平面，所以
因为平面，所以平面
所以，四面体的体积
，
所以.
本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；
（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）因为
所以，
由得，
又因为，故，所以，
所以.
本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
所以，
因为椭圆离心率为，所以，
又，
解得，，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，
由得，
解得，或，由题意得，
从而，
由（Ⅰ）知，，设，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，
设，由消去，解得，
在中，，
即，
所以，即，
解得，或.
所以直线的斜率的取值范围为.
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.
21．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；
（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.
【详解】
（1），，所以，函数单调递增，
所以，当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
要证，即证.
不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，所以，函数在区间上单调递增，
，，即，即，
，且函数在区间上单调递增，
所以，即，故结论成立；
（2）由恒成立，得恒成立，
令，则.
①当时，对任意的，，函数在上单调递增，
当时，，不符合题意；
②当时，；
③当时，令，得，此时，函数单调递增；
令，得，此时，函数单调递减.
.
.
令，设，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得最大值，即.
因此，的最大值为.
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.
22．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.
∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.
∴.
本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
变量x
0
1
2
3
变量y
3
5.5
7