广东江门市蓬江区2026年初中毕业生学业水平调研测试 九年级数学（含解析）

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本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 平行四边形B. 等边三角形C. 圆D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查某种柑橘的甜度情况B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C. 调查某市垃圾分类的情况D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：选项A：，故此项符合要求；
选项B：，故此项不符合要求；
选项C：，故此项不符合要求；
选项D：，故此项不符合要求；
4. 在平面直角坐标系中，点P(a2+1，-1)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】判断出点P的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可.
【详解】∵为非负数，为正数,∴点P的符号为(+，-)∴点P在第四象限，故选D.
本题考查了象限内的点的符号特点，注意加任意一个正数，结果恒为正数.牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键.
5. 2026年“春节”期间，某市旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，该市旅游消费超过8亿元，将数据8亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：亿
∴ 8亿用科学记数法表示为．
6. 某商场开展购物抽奖活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有元、元、元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为元的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出金额和为元的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：一次性随机摸出两个小球，所有等可能的组合共种：
1、元和元，和为元；
2、元和元，和为元；
3、元和元，和为元；
其中和为元的结果只有种，
所求概率为．
7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，
所以，，，，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
8. 如图，五边形中，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式解题即可．
【详解】解：多边形的内角和为，
∴五边形的内角和为，
∴．
故选：A．
9. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
10. 已知直线：与y轴交于点P，将直线绕点P顺时针旋转得到直线，则直线的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出一次函数与轴、轴的交点，从而得到是等腰直角三角形；再根据将直线绕点P顺时针旋转得到直线，可得到，进而得到点的坐标，最后根据待定系数法即可求出直线的解析式．
【详解】解：如图，设直线，分别与x轴交于点A，C，
对于，
当时，，当时，，
，，
，
，
∵将直线绕点P顺时针旋转得到直线，
，
∴，
∴，
，
∴．
设直线的解析式是，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式是．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
12. 计算：________．
【答案】
2
【解析】
【详解】解：原式
．
13. 若，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据已知条件，利用代入法求解即可．
【详解】解：由，可得，代入所求式子，得；
故答案为3．
14. 如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________．
【答案】
【解析】
【分析】设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，．
15. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与分别相交于点．设的面积依次为、、，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由全等矩形的性质可得，，，，进而可证，再由，， 可得，，即得到，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵矩形是由三个全等矩形拼成的，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
，，
，，
，
∵，
，
，
，，
．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解不等式组：，并求出它的正整数解．
【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为
【解析】
【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可．
【详解】解：，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，其正整数解为．
17. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线交于点，并连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与解决：在（1）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧在线段上下方各交于一点，过两点作直线交于点，即为所求；
（2）在中，根据勾股定理可得的长，再由线段垂直平分线的性质得到，从而得到，最后根据正切值的定义列式计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求作的图形；
【小问2详解】
解：在中，，
根据垂直平分线的性质可知，，
，
在中，．
18. 注重人工智能教育应用伦理，引导中小学生科学合理使用各类人工智能工具．某校开展了解八年级学生对工具（豆包、通义千问、、可灵）的掌握情况，随机抽取若干名八年级学生，统计每人掌握的工具数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生掌握工具数量的人数统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出表格中、的值：________，________．
（2）被抽取的八年级学生掌握工具数量的中位数为________个．
（3）本次调查中，掌握工具数量不小于个的学生被评为“应用小达人”，若该校八年级有名学生，请估计八年级学生中被评为“应用小达人”的人数．
【答案】（1）；
（2）
（3）人
【解析】
【分析】（1）先根据“掌握数量为个”的人数与其所占比例计算出抽取的八年级学生总人数，再用总人数乘以“掌握数量为个”所占比例即可求得的值；再用总人数减去其他三项人数之和即可求得的值；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）根据总人数乘以样本中掌握工具数量不小于个的学生人数占比即可．
【小问1详解】
解：抽取的八年级学生总人数为（人），
；；
【小问2详解】
解：将抽取的八年级学生掌握工具数量按照从小到大的顺序排列，位于第位和第位的数据均为个，
被抽取的八年级学生掌握工具数量的中位数为个；
【小问3详解】
解：估计八年级学生中被评为“应用小达人”的人数为（人）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，通过证明得到即可；
（2）连接，由圆周角定理得到，然后求出，则，据此列方程求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴
∵是的直径，
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
∴．
20. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）若点是抛物线上一动点，且在对称轴的右侧，过点作对称轴的垂线，垂足为．求的最大值，并求此时点的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式，顶点的坐标为
（2）最大值为，此时点的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法列式计算即可；
（2）设，可得到点的坐标，进而可表示出、，然后得到，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于点，对称轴为直线，
，解得，
抛物线的表达式，
当时，，
顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：设，则，
，，
，
，
抛物线开口向下，
当时，取最大值，最大值为，
此时，即点的坐标为．
21. 综合与实践
【问题背景】
某班同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到与．
【操作研究】
（1）数韵小组的同学们将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转角，得到如图2所示的，连接、，得到四边形，且发现它是矩形，请你探索与之间的数量关系，并证明这个结论．
【深入求索】
（2）理趣小组的同学们在数韵小组发现四边形是矩形的基础上，量得，，现将沿射线方向平移，得到，连接、，使四边形恰好为正方形，求x的值．
【答案】（1），证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）过点作于点，可得，由四边形是矩形，可得，可得，由四边形是菱形，可得，即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，由四边形是菱形，可得，利用等面积法可得，则，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
由旋转可得，，
∴平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得：或，
∴x的值为或．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 在中，，点P在边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作，交射线于点Q．
（1）如图，若点Q在线段的延长线上，，探索与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图，若点Q在线段上，，，求的长．
（3）如图，若，求在运动过程中线段长度的最小值．
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）由，，得到，再求出，得到，则；
（2）过作于，证明，得到，设，则，，，再根据直角三角形的性质得，根据，解得，代入即可；
（3）在运动过程中线段长度的最小值时，在线段上，参考第（2）问的思路求解即可；过作于，证明，得到，设，，，，
∴，再根据直角三角形的性质得，，根据，解得，代入 整理得，最后根据，解得，即可得到在运动过程中线段长度的最小值为．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过作于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴；
【小问3详解】
解：在运动过程中线段长度的最小值时，在线段上，
过作于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，，，，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
解得，
∴，
整理得，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴在运动过程中线段长度的最小值为．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上．
（1）当点C的坐标为时，求a、b的值；
（2）当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由；
（3）如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）当时，，理由见解析
（3）点E的坐标为或
【解析】
【分析】（1）过作轴于，过作轴于，再根据正方形的性质结合一线三垂直模型证明，得到，，同理可得，当点C的坐标为时，，解得；
（2）由顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，可得，，
根据解不等式即可；
（3）当时，，解得，则，此时，过作轴于，过作轴于，则，，设，则，，得到，根据当G为的三等分点时，得到，或，分情况讨论分别求出点坐标，代入，求出，再求即可．
【小问1详解】
解：过作轴于，过作轴于，
∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
当点C的坐标为时，，
解得；
【小问2详解】
解：当时，，理由如下：
∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴当时，，
∴，即，
∴，
由图可得，，
∴；
【小问3详解】
解：当时，，
由图可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作轴于，过作轴于，
∴，，则
设，则，，
∴，
∵当G为的三等分点时，
∴，或，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象过点G，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，，
∴；
同理当时，，；
综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或．掌握AI数量/个
1
2
3
4
人数/人
6
12