山东省德州市乐陵市2026年九年级第一次模拟检测数学试题（含解析）中考模拟

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本试题分选择题40分；非选择题110分；全卷满分150分，考试时间为120钟．
一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 的相反数的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴，
则的相反数为，的倒数为．
因此所求结果为．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 的常数项是1B. 的次数是3
C. 系数是D. 和是同类项
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据多项式常数项、单项式的次数、单项式的系数、同类项的定义，逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、的常数项是，故选项A错误；
B、中所有字母的指数和为，因此次数是3，故选项B正确；
C、的系数是，不是，故选项C错误；
D、和中相同字母的指数不相等，不符合同类项定义，故选项D错误．
4. 六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：图形的俯视图为．
5. 观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据尺规作图的痕迹，逐个选项分析即可．
【详解】解：对于选项A：由作图痕迹可知，是边上的高线，故A错误；
对于选项B：由作图痕迹可知，点是的中点，即是边上的中线，故B正确；
对于选项C：由作图痕迹可知，是的角平分线，故C错误；
对于选项D：作图痕迹不满足基础作图要求，故D错误．
6. 如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
，
∴点C的坐标为，
∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，
∴点C的对应点的坐标为或，
即或，
故选：C．
7. 在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如表所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将冰化成水、酒精燃烧、铁棒生锈分别记为，将衣服晾干、牛奶变质、钢丝弯曲分别记为，画出树状图，可得从每组中分别随机抽取一张的所有等可能的结果，再找出抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的结果，利用概率公式计算即可．
【详解】解：将冰化成水、酒精燃烧、铁棒生锈分别记为，将衣服晾干、牛奶变质、钢丝弯曲分别记为，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，从每组中分别随机抽取一张共有9种等可能的结果，其中，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的结果有2种，
所以抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为．
8. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，、为扇形的半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
，
．
故选：C．
本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键．
9. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ）
A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B. 第一次购买节能灯的单价是元
C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个
D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为
【答案】D
【解析】
【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果．
【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，
故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为，
∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元，
∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意；
，
，
，
，
解得，
∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意；
故第二次购买单价为元，
∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个，
∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意；
若设第二次购买数量为个，
∵ 第二次和第三次购买数量相同，
∴ 第三次购买数量也为个，
故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为，
∵第三次单价比第一次单价多元，
故，
整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意．
10. 小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，将解决最值的问题需通过设未知数转化为不等式组求解是解题的关键．
设甲、乙两种书的购买数量为正整数x、y，根据总花费限制和甲比乙多的条件列不等式组，再运用列举法求解即可．
【详解】解：设购买甲种书本，乙种书本（为正整数）
∵小红用390元购买甲、乙两种书，且甲种书比乙种书多，
∴，整理得：，即，
∵甲种书比乙种书多，
∴，
∴，
∴且，解得：且，
∵为正整数
∴
设总共购买本数，
当时，y最大为5，；
当时，y最大为3，；
当时，y最大为1，．
∴S的最大值为12．
故选C．
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知被开方数非负，分式分母不为零列出不等式求解即可．
【详解】解：要使在实数范围内有意义，根据二次根式和分式有意义的条件可得：
，且，即
分子，
，
解得，
所以x的取值范围是．
12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据“左减右加，上加下减”的平移规律求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征求出点C的坐标．
【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即，
∵点B关于x轴的对称点为C，
∴点C的坐标是．
13. 如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理得，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，即可得点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，则为点M所经过的路线长，然后说明是的中位线，并根据中位线的性质得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，，且，点D是的中点，
∴，．
∵，点M是的中点，
∴，且，
在中，，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，，交于点O，
∴为点M所经过的路线长，．
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴．
所以点M所经过的路线长为．
14. 已知反比例函数，则当时，的最小值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值．
【详解】解：将反比例函数代入中，
可得：，
，
当增大时，也随之增大，则随之减小，
因此，在时取得最小值，代入计算，
得，
故答案为：．
15. 如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可．
【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，，，
由勾股定理可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
在直角中，，
∴的最小值为．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解答下列各题
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，再计算；
（2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后将数值代入求值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
17. 践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”．郑州市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）．
甲校：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76
乙校：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格：
（3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些．并根据（2）中的数据说明理由；
（4）为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，请你提出一条合理化建议．
【答案】（1）见解析 （2）87，89
（3）甲学校学生的中华文化知识水平更好一些
（4）在课后多开展中华文化知识活动
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可以得到乙校，70﹣79的和60﹣69的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据表格中的数据将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；
（4）答案不唯一，理由需支撑推断结论．
【小问1详解】
解：由表格可得，乙校70﹣79的有5人，60﹣69的有2人，
补全条形统计图，如下图．
【小问2详解】
解：由条形统计图可得，
甲校数据按照从小到大排列是：54、68、69、76、76、76、77、79、82、83、83、84、84、87、87、87、88、88、89、89、89、89、89、90、92、92、92、93、94、98，
∴这组数据的中位数m87，众数n＝89；
故答案为：87；89；
【小问3详解】
解：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好；
【小问4详解】
解：为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18. 根据以下材料，完成任务．
【答案】任务1：；任务2：
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
（1）先过点作，垂足为点，过点作于点，由题意，得，根据，得出，结合，得出，再证得四边形是矩形，得出，即可解答；
（2）在中，根据，，，求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为点，过点作于点，
则，．
由题意，得．
，
，
，
．
又，
．
，，，
四边形是矩形，
．
即树枝的边缘点到树干的距离为．
（2）在中，，，
，
树枝的长约为．
19. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为：
（2）
【解析】
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【小问1详解】
解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
20. 综合与实践
【课本再现】
（1）九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决：
如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案；
【类比迁移】
（2）兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？
【深入思考】
（3）兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（4）若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积．
【答案】（1），
（2）576 （3）不认可，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）设为，则，然后表示出矩形的面积，根据二次函数的性质求解即可求得答案；
（2）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案；
（3）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案；
（4）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：设为，则，
∴窗户的面积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，S取得最大值，
∴，时，窗户的面积最大；
【小问2详解】
解：如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值576；
【小问3详解】
解：不认可，理由如下：
如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值384
∵
∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小，
∴不认可小亮的观点；
【小问4详解】
解：如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值．
21. 如图， 是的直径， 是的切线， 交于点．
（1）用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使 ；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点作即可，根据切线的性质结合四边形的内角和可得，再由平角的定义可得，等量代换即可得证；
（2）通过切线长定理得到，进而证明， 然后解直角三角形求出半径即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作的垂线，交于点，则，点即为所求；
是的切线，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
是的切线，
是的切线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
即的半径为．
22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合．
（1）抛物线的对称轴为直线_____；
（2）当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当（为常数）时，的最小值为，求的值；
（3）在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】（1）2； （2）①；②或3；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴是求出解；
（2）①将点代入关系式可得解；
②分三种情况讨论：当，即时，，取最小值，再代入得出方程，求出解；当，即时，，取最小值，求出最小值，并判断；当时，，取最小值，然后代入求出方程的解；
（3）设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线，再分三种情况讨论：当，即时，在对称轴的右侧，再根据最小值得出方程，求出解，并判断；当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，并判断；当，即时，在对称轴的左侧，然后代入得出方程，求出解，即可得出符合条件的关系式．
【小问1详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：①把代入得：，
，
抛物线所对应的二次函数表达式为；
②当，即时，，取最小值，
，
解得或（舍去），
；
当，即时，，取最小值，
此时最小值为，不符合题意；
当时，，取最小值，
，
解得（舍去）或；
综上所述，的值为或3；
【小问3详解】
解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，
解得或，不符合题意；
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意；
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，
解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，
即．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为．
23. 几何综合
【方法尝试】
（1）如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：；
【类比迁移】
（2）如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，．
请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
当点，，在同一直线上时，求线段的长；
【拓展延伸】
（3）如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2） ，，见解析；线段的长为或；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证；
（）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解；
分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可；
（）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解
【小问1详解】
证明：如图，延长交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，，理由：
如图，延长分别交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，；
如图，当点落在线段上时，设，
∵，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴；
如图，当点在线段上时，
设，则，，
∵，
∴，
整理得，，
∴，（舍去），
∴，
∴综上所述，线段的长为或；
【小问3详解】
解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，即最大值为，
∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，
∴．第一组
冰化成水
酒精燃烧
铁棒生锈
第二组
衣服晾干
牛奶变质
钢丝弯曲
平均数
中位数
众数
甲校
83.6
_______
_______
乙校
83.2
86
92
材料1
如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2
小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3
当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1
求出大树的树枝的边缘点到树干的距离
任务2
求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注
参考数据：