2026年山东德州市德城区九年级第一次模拟检测数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年山东德州市德城区九年级第一次模拟检测数学试题（含解析）中考模拟，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
2. 如图，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图概念即可解题.
【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,
故选B.
本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.
3. “一丝一粟，来之不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零），
∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足，
∴．
4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
∴在第一象限随的增大而减小；
当时，，
∴电流可以为，
故选：A．
5. 如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ）
A. 2米B. 10米C. 20米D. 25米
【答案】D
【解析】
【分析】求出即可得到答案．
【详解】解：当两人在同一条半径上时，，
当两人在同一条直径的两端时，，
故，
慢跑过程中两人的距离不可能是25米．
6. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键．
根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可．
【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且，
∴横轴方向，，
纵轴方向，，
∴方程组为，
故选：B ．
7. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 1.6D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为，的中点，，
∴，
∵，
∵D为的中点，，
∴，
∴．
8. 已知一次函数的图像经过点．则下列各点可能在该函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用已知点得到k与b的关系式，再将各选项点坐标代入函数解析式，判断求出的是否满足即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，
∴将代入解析式得，即，
∴函数解析式为；
A．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
B．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
C．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上；
D．将代入解析式，得，解得，满足，故该点可能在函数图像上．
9. 如图，直角梯形ABCD中，，，，，．P是直线上一点，使得与相似，这样的点P的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由于，故要使与相似，分三种情况讨论：①点P在线段的反向延长线上；②点P在线段上；③点P在线段的延长线上讨论，每一种情况里再分和两种情况讨论，根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数．
【详解】解：设的长为，
∵，，
，
．
①当点P在线段的反向延长线上，则．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
若，则，
即，
解得：
若，则，
即，
整理得： ，
，（舍去）；
或；
②当点P在线段上，则
若，则，
即，
解得：
若，则，
即，
整理得：，
，
方程无解，
；
③当点P在线段的延长线上，则
若，则，
即，
解得：（舍去），
若，则，
即，
整理得： ，
，（舍去）；
满足条件的点的个数是4个．
10. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将A，B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的表达式，再根据确定的范围并比较大小即可．
【详解】解：∵ 点，在抛物线上，
∴ 将代入解析式得，
将代入解析式得，
∵ ，
∴ 对，不等式同乘得，三边加得；对，三边加得，
∴，即．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11. 请写出一个比小的整数：___________．
【答案】1
【解析】
【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的整数即可．
【详解】，
，
比小的整数可以为，或任意负整数都符合要求．
12. 某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下：
估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到）
【答案】0.8
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可．
【详解】解：计算各次试验射中9环以上的频率：
，，，，，，
观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率约为．
故答案为：．
13. 如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意可得，如图所示，过点O作于点C，得到，由锐角三角函数的计算得到，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点O作于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即指针的长度是5．
14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答．
【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16. 化简和解不等式组
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先对括号内的式子进行化简，再将分式的除法转化为乘法进行化简即可解答本题；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
①：
解得，
②
解得，
∴不等式组的解集为．
17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．语言交互能力得分
：5 6 6 8 8 8 8 9 9 10
：6 6 6 6 7 8 9 9 10 10
b．数据分析能力得分（如下图）
c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）．
（2）请求出产品语言交互能力得分的平均数；
（3）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由．
【答案】（1）6，7.5，
（2）7.7 （3）小罗应该选择，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出、的值；根据方差越小，波动越小，方差越大，波动越大，结合折线统计图即可得到方差的大小关系；
（2）先算出产品语言交互能力得分的和，再除以10计算平均数；
（3）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择．
【小问1详解】
解：的语言交互能力得分中，6分出现的次数最多，
的语言交互能力得分的众数为6分，即；
由数据分析能力得分的折线统计图得，
的数据分析能力得分按从低到高的顺序排列为：3，4，4，6，7，8，9，9，10，10，
的数据分析能力得分的中位数为分，即；
由数据分析能力得分的折线统计图知，的得分的波动程度大于的得分的波动程度，即；
故答案为：6，7.5，；
【小问2详解】
解：产品语言交互能力得分的平均数为：；
【小问3详解】
解：小罗应该选择，
理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于．
18. 某数学兴趣小组制作了一个“沙漏计算装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数来计算时间（假设沙子足够）．已知电子秤读数与漏沙时间满足一次函数关系．当漏沙时间为时，电子秤的读数为，当漏沙时间为时，电子秤的读数为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当电子秤的读数为时，求漏沙的时间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）将代入（1）所得函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：电子秤读数与漏沙时间满足一次函数关系，
设与之间的函数关系式为，
当时，；当时，，
，解得，
与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：当时，，解得．
答：漏沙的时间为．
19. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】（1） 米
（2）米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数求出所需长度是解题关键．
（1）由题意可得，米，，利用锐角三角函数，分别求出米，米，再得出，进而得到米，即可求出平台的长；
（2）在中，利用锐角三角函数，求出米，米，进而得出米，证明四边形是矩形，得到米，米，进而得出米，再利用锐角三角函数，求出米，即可求出建筑物的高度．
【小问1详解】
解：米，为中点，
米，
由题意可知，，，
，
在中，米，，
米，米，
斜坡的坡角为，即，
，
米，
米；
【小问2详解】
解：在中，米，，
米，米，
米，
米，
由（1）可知，米，米，
米，
，，，
，
四边形是矩形，
米，米，
米，
在中，，米，
米，
米．
20. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，再求得，然后运用待定系数法求解即可；
（2）连接，，，再证明可得，即，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：等腰直角三角形的顶点，，
，轴，
，
又∵点是的中点，设点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，解得：，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：如图：连接，，，
，
∴，
是等腰直角三角形，点是的中点，
，，，
，即
将点绕点逆时针旋转，
，即，
，
，
恰好落在的图象上，
，
21. 如图，点是外一点，直线交于点，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，过，作直线，交于点（点在外）：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
（1）线段与的数量关系为：________________________；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由作法得垂直平分，据此即可解答；
（2）由作法得垂直平分，，进而得到；再利用等边对等角以及三角形内角和定理得到，进而证明结论；
（3）设半径为，则，，
由（2）可知，，根据勾股定理列方程可得，再根据求解即可．
【小问1详解】
解：由作法得垂直平分，即．
【小问2详解】
证明：如图：连接，，
由作法得垂直平分，
，
，，
的内角和为，
，即，
∴，即，
又点在上，
是的切线；
【小问3详解】
解：设半径为，则，，
由（2）可知，，
在中，根据勾股定理，，
∴，解得，；
．
22. 已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得抛物线的解析式，然后利用二次函数的性质求对称轴即可；
（2）由题意可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出t的值即可；
（3）先求出新函数的顶点坐标为，当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为；再画出图形，并根据图形求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得：，解得：；
，
对称轴为直线．
【小问2详解】
解：由（1）知：抛物线解析式为，
点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，
，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，
又点为线段的中点，
，
，
，
代入，得：，
．
【小问3详解】
解：，
抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，，为直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又直线，之间的距离为9，为定值，
当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
当时，解得：，，即：，
的最大值为：．
23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．
（1）观察猜想
如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．
（2）类比探究
如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
当，且时，若，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）图见解析；不成立，，证明见解析
（3） 或．
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于点P，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：不成立，，证明如下：
如图，过点C作于点Q，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①如图：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上，的值为 或．
射击次数
200
400
1000
2000
4000
10000
射中9环以上次数
150
330
780
1580
3210
8010
统计量产品
语言交互能力得分
数据分析能力得分
平均数
中位数
众数
平均数
中位数
方差
8
8
7.0
7.7
7.5
6.9
7