河北衡水中学2025-2026学年第二学期高二年级二调考试数学试卷（含解析）下学期期中

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注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡"条形码粘贴处".
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用排列数公式即可求解.
【详解】．
2. 将、、、、这个字母排成一排，若c与e必须相邻，则不同的排法种数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知，将c与e捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序，
因此不同的排法种数为种.
3. 是等比数列，且， ，则（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 32
【答案】D
【解析】
【详解】设等比数列的公比为，由，，
得，所以.
4. 若（），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6，
所以，所以，故A错误；
对于B：a3=2×C52⋅−13+1×C53⋅−12=−10 ，故B错误；
对于C：在2x+1x−15=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6中，
令，得2×0+10−15=a0，所以，
令，得a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6=2×1+11−15=0 ，
所以，故C正确；
对于D：对2x+1x−15=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6两边同时求导，
得2x−15+52x+1x−14=a1+2a2x+3a3x2⋅⋅⋅+6a6x5，
令，得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+6a6=21−15+52×1+11−14=0 ，故D错误.
5. 设随机变量X的分布列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
因为，
所以，解得。
所以，
所以.
6. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式计算求解即可.
【详解】，
因，
故．
故选:A．
7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知对任意的，恒成立，即恒成立，利用二次函数的基本性质可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的，恒成立，即恒成立，
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
8. 已知，，若，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据以及的符号变化将的范围分成三类，，，分类讨论中的取值范围，从而确定的最小值.
【详解】由题意可知，对任意，
由，
当时，有，所以对任意时，，
此时只要求，即，
故，即的最小值为；
当时，且，因此，在时，，
此时要求，即，
在时，，此时要求，即，
由此可得，此时，
令，求导得，
由于，故在单调递减，
因此，的最小值为，即的最小值为；
当时，，因此，在时，，此时要求，即，
在时，，此时要求，即，
在时，存在使得，此时要求，则，
因此需要同时满足，，显然矛盾，故无解；
综上所述，即的最小值为，故B正确.
二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】，所以A正确；
是常数，所以，所以B不正确；
，所以C不正确；
，所以D正确.
10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A. 服从二项分布B. 服从超几何分布
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D.
【详解】依题意，等差数列公差，则通项为
，
由得，即等差数列前10项中有6个正数，
的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数，
因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确；
错误；
由题正确．
故选：．
11. 已知随机变量X，且，则（ ）
A. B. 若则
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即可.
【详解】由题知，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
由正态分布密度曲线关于对称，
利用对称性知，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________.
【答案】56
【解析】
【详解】先把9个相同的小球排成一行，然后在9个小球之间的8个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，
每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有种.
13. 在数列的每相邻两项之间插入这两项中后一项的3倍与前一项之差，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.则第6次拓展得到的数列的项数为________.
【答案】65
【解析】
【详解】设数列1，2第n次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，所以，
所以数列bn−1是等比数列，首项为2，公比为2，所以，
所以，所以.
14. 一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等．即．利用以上定理求解下列问题：将n个不同的小球放入n个不同的盒子，设每个球落入各个盒子的可能性是相同的，则空盒子个数的数学期望是______．
【答案】
【解析】
【详解】定义随机变量如下：当第i个盒子中有球时，，当第i个盒子中没有球时，．再令，则表示无球盒子的个数．
由题：，所以．
因为每个球放入第i个盒子的概率为，不放入该盒子的概率为，
又因为每个小球是否放入第i个盒子是相互独立的，所以n个小球均不放入第i个盒子的概率为，至少有一个小球放入第i个盒子的概率为，
由此得的分布列如下表所示：
，．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在区间的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求；
（2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可．
【小问1详解】
解：，
，
则函数在处的切线方程为；
【小问2详解】
由（1）知，
令，解得或，
和时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，
函数在区间的最大值为，最小值为．
16. 已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.
（1）求，；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数的性质求出根据二项式定理可得第二项，从而可得系数为；
（2）由（1）可知根据错位相减法可得结果.
【小问1详解】
由二项式定理可得：
的第二项为，所以；
【小问2详解】
由（1）知
所以①，
②，
②-①可得，
可得：.
17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面 ，得，结合题设再证平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）利用空间向量法来求出平面夹角余弦值的表达式，转化为函数求最大值即可.
【小问1详解】
因为 底面， 底面，所以，
又，是中点，故，
由于，平面，因此平面 ，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面 ，
又因为平面 ，所以平面平面；
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
， 则，，，，，
即，DP⃗=1,−1,2，设DE→=λDP→=(λ,−λ,2λ) ，
则CE⃗=CD⃗+DE⃗=−1,1,0+(λ,−λ,2λ)=−1+λ,1−λ,2λ，
因为，所以，
即，
因为在上，所以可设，， 则，
由图可知平面的法向量为，
设平面 的法向量，
则CE⃗⋅n⃗=−23x+23y+23z=0CF⃗⋅n⃗=(t−2)x+ty=0，令，可得，
设平面与平面夹角为，
则csθ=m⃗⋅n⃗m⃗⋅n⃗=|t−2|(−t)2+(t−2)2+4(1−t)2=2−t6t2−12t+8，
令，则，
设，
当时，即，，
所以csθmax=132=63，
即平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
18. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货．
（1）已知消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”，求它是新款盲盒的概率；
（2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差；
（3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）期望为，方差为
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求解；
（2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解；
（3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望.
【小问1详解】
设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”，
则，
则；
.
【小问2详解】
每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​，
因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式：
得，；
【小问3详解】
当拆开全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取，
因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况，
计算概率得：（前2个均为隐藏款），
（第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏），
（第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款），
（剩余所有情况），
Y的分布列为：
数学期望：.
19. 某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X.
（1）求单件产品的检测结果为合格的概率p；
（2）若n，k（）为定值，求取最大值时的值；
（3）当n足够大时，（2）中的近似服从.设，，当时，求证：.
说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）因为单件产品检测合格包含真实合格且检测合格、真实不合格但误判合格两个互斥事件，所以用全概率公式计算，将两个事件的概率相加.
（2）因为X服从二项分布，所以先写出的表达式，将其看作关于的函数，再利用求函数最值的方法，比如求导或者利用组合数的性质分析函数的单调性，找到取最大值时的值.
（3）因为近似服从，所以先将通过正态分布的标准化转化为标准正态分布的概率不等式，结合参考数据得到关于的不等式，即可证明结论.
【小问1详解】
设“单件产品实际为合格品”为事件A，记“单件产品检测为合格品”为事件D，
则由全概率公式知，PD=PAPDA+PAPDA
，
即单件产品的检测结果为合格的概率为.
【小问2详解】
因为每件产品的检测结果相互独立，
所以件产品中检测结果为合格的件数X服从二项分布.
当时，.
令，其中，
则
令，得，且，
所以当时，，
所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，当时，取得最大值.因此.
【小问3详解】
由于为随机变量，由（2）可设.
且，所以，.
因为，，所以
所以，
因为，所以，
由题知，近似服从，
因为，所以，
所以，
所以，故，
由参考数据，故，解得.0
1
P
Y
2
3
4
5
P