天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年第二学期高二年级数学阶段检测试卷（含解析）下学期期中

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一､单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 乘积展开后的项数为（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】分析每个括号组成情况，采用分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法，
从第二个括号中选一个字母有2种方法，
第三个括号中选一个字母有4种方法，
故根据分步乘法计数原理可知共有（项）．
故选：D
2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小
【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故选：A
3. 若随机变量，，则（ ）
A. 0.15B. 0.3C. 0.35D. 0.7
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，可知，即可得解.
【详解】由随机变量，，
可知，
故选：A
4. 两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有( )种
A. 9B. 6C. 8D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，问题可看作有顺序的排列问题，三门课选两门分给两位同学，根据排列的计算方法即可计算．
【详解】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有种﹒
故选：B﹒
5. 为建设美丽中国，贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某校通过劳动体验课程，让五位学生亲自动手，亲身体验.现某农场有四个基地：果园基地､花卉基地､农作物基地､水稻基地，每位同学只能去一个基地，每个基地至少有一位同学，则不同的分配结果共有（ ）种
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】五位学生，每位同学只能去一个基地，每个基地至少有一位同学，所以5个学生分为4组，人数为，共有种分组方法，
将分好的4组分配到4个基地中，共有种分配方法，
所以不同的分配结果共有种.
6. 以下四个命题中错误的是（ ）
A. 在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大
B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好
C. 在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均增加2个单位
D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关
【答案】C
【解析】
【分析】借助独立性检验的性质、决定系数定义、回归直线方程性质与相关系数定义逐项判定即可得.
【详解】对A：由独立性检验的性质可知，的值越大，则两个变量相关的可能性就越大，故A正确；
对B：由决定系数定义可得，越大，则说明模型拟合的效果越好，故B正确；
对C：在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均减少3个单位，故C错误；
对D：由，r=0.99 ，接近，故变量y和x之间具有很强的线性相关性，
而且是负相关，故D正确.
7. 某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算.
【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程，
从五门课程中任选两门的选法数为种.
“至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”.
两门都是“劳动教育”课程的选法数为种.
所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则.
从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以.
由条件概率公式，将，代入可得：
.
故选：B.
8. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先写出通项公式，即可求出a.
【详解】的展开式的通项为，
∵的系数为12，
∴当6-2r=4时，解得r=1，
有，即-6a=12，解得：a=-2.
故选：B
方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
9. 某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，
由全概率公式得，
所以甲参加抽奖活动中奖的概率．
故选：D
10. 2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A. 3864种B. 3216种C. 3144种D. 2952种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：B.
二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，
给出下列说法：
①由题中数据可知，变量与负相关
②当时，残差为
③可以预测当时销量约为万只
④经验回归方程中
其中正确的是__________（填序号）.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据表格中销量与时间的变化规律可判断①；利用表格分别求出销量与时间的平均数，得样本中心点，代入回归方程求出判断④；进而推得线性回归方程，再利用残差定义，计算判断②；利用线性回归方程赋值计算即可判断③.
【详解】由经验回归方程，可知回归直线的斜率，即变量与负相关，同时结合表格，可知销量随着的增大而减小，故①正确；
又由表格可得，，
因样本中心点在回归方程上，则得，故④正确；
则回归方程为，当时，，此时残差为，故②错误；
当时，代入回归方程可得，即可以预测当时销量约为万只，故③正确.
12. 已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次.若每次击中目标记分，记门大炮总得分的期望值为，则的值为________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意得，利用其期望公式即可得到值.
【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得，则，
因为每次击中目标记2分，
所以10门大炮总得分的期望值为A=5×2=10 .
13. 甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答）
【答案】24
【解析】
【分析】甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，其中甲在丙左侧与甲在丙的右侧的排法数相同，由此可得排法种数.
【详解】甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，共有种排法，
因为甲在丙左侧与甲在丙的右侧的排法数相同，
所以甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧的不同的站法共有种.
故答案为：24
14. 已知关于的方程在区间内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用分离参数法，将方程有两个实数根的问题转化成两个函数在给定区间上有两个交点问题，继而只需研究函数的图象的单调性、最值和端点值比较即得.
【详解】由可得：，设，依题意，函数与函数的图象在时有两个交点.
由，，，
可知当时，，为减函数，当时，，为增函数，故时，
又且由知.

如图，要使函数与函数的图象在时有两个交点，须使，即实数的取值范围为：.
故答案为：.
15. 已知，设，______.
【答案】1023
【解析】
【分析】由，可求出，进而将代入展开式，可求出，将代入展开式，可求出，进而可求出.
【详解】因为，所以，
则，
令，可得，
令，可得，
所以.
故答案为：1023.
本题考查组合数的性质，考查利用赋值法求系数和问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；
【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以
，即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时；
故答案为：
三､解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）1024
（2）180
【解析】
【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；
（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.
【小问1详解】
前三项的二项式系数和为，
解得或-11（舍去），
中，展开式中所有二项式系数的和为；
【小问2详解】
的展开式通项公式为，
令得，故.
18. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，让学生了解更多的冬奥会知识，某学校举办了有关2022年北京冬奥会知识的宣传活动，其中有一项为抽卡答题活动，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”．卡片背面都有关于冬奥会的问题，答对则奖励与卡片对应的吉祥物玩偶．其中“冰墩墩”卡片有5张，编号分别为1，2，3，4，5；“雪容融”卡片有4张，编号分别为1，2，3，4，从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X．求随机变量X的分布列．
【答案】（1）
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）则X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其相应的概率，再列出分布列.
【小问1详解】
解：从盒子中任取4张卡片的基本事件的总数为，
取出的卡片中，含有编号为4的卡片的基本事件数位，
所以取出的4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率位；
【小问2详解】
在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X ，
则X的可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
19. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中、、环的概率分别为、、，乙一次射击命中、环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
（1）在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
（2）记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的分布列；
（3）进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为，由题意可得，结合独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、、，利用独立事件的概率乘法公式可计算得出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（3）求出每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为的概率，再利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为，
则甲命中的环数不高于乙命中的环数为；
（2）题意可知随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）每轮射击后，甲、乙命中的环数之和为的概率为，
三轮射击后，甲、乙命中的环数之和最小为，
因此，进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率为.
本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
20. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【解析】
【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前项和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.
【详解】解：(1)设等差数列的公差为，
，，.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①．
②
由①减去②得，
则，所以的前n项和.
（3）由(1)可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
21. 已知函数.
（1）若在，处取得极值.
①求的值；
②若存在，使得不等式成立，求的最小值；
（2）当时，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用求导，根据极值点列出方程求出参数的值；②由题意将问题转化成，由①得函数解析式，求导判断其单调性，求出极值与端点函数值比较即得，进而求出的最小值；
（2）在时，将函数求导后，根据的取值分类讨论函数的单调性，即得其取值范围.
【小问1详解】
①函数fx=2ax−bx+lnx 的定义域为，
求导得f'x=2a+bx2+1x.
在，处取得极值，
则，即2a+b+1=02a+4b+2=0
解得a=−13,b=−13.（经检验符合题意）
②若存在，使得不等式成立，则只需.
由①知，fx=−23x+13x+lnx ，则f'x=−23−13x2+1x=−2x−1x−13x2，
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
在处取得极小值为f12=13+ln12=13−ln2 ，
又f2=−76+ln2, ，故
，
故.
【小问2详解】
当时，fx=2ax−ax+lnx ，则f'x=2ax2+x+ax2.
若时，则，故在上单调递增；
当时，，，即，则在上单调递增；
当时，设gx=2ax2+x+a=2ax+14a2+a−18a，
因，要使在上单调，只需，解得，
此时在上单调递减.
综上可得，a∈−∞,−24∪0,+∞.
时间
1
2
3
4
5
销量万只
5
4.5
4
3.5
2.5
X
0
1
2
3
4
P