天津市天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二上学期阶段检测（期中）数学试题（解析版）-A4

这是一份天津市天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二上学期阶段检测（期中）数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量共线的条件，列式计算得解.
【详解】向量，，由，得，解得，
所以.
故选：B
2. 直线l的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条件，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线l的方向向量为，得该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.
故选：C
3. 椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等
C. 离心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解.
【详解】因为第一个椭圆，则焦距为，
所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为，
第二个椭圆的，
则焦距为，
所以长轴长为，短轴长为，离心率为，
所以A，B，C错误，D正确，
故选：D.
4. 圆与圆的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆可化为，其圆心，半径，
，即圆与圆相交，
将两圆方程相减得它们的公共弦所在的直线方程：，
点到直线的距离，
所以所求公共弦长为.
故选：B.
5. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于M，N两点，则的周长为（ ）
A. 10B. 16C. 20D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆的定义可得，，代入即可求出答案.
【详解】由椭圆的定义可得：，，
则的周长为：
.
故选：C.
6. 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可得，即求出离心率为.
【详解】如下图所示：
易知，
所以，又为等边三角形，所以，
可得，所以离心率为.
故选：A
7. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程表示圆及点在圆外，列出不等式组并求解得答案.
【详解】由点在圆外，得，解得，
所以a取值范围是.
故选：C
8. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围.
【详解】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点），
在坐标平面内作出半圆及直线，
当直线与半圆相切时，且，则，
当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点，
当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点，
此时直线的纵截距在到之间，
当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点，
所以直线与曲线有公共点，.
故选：B
9. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解．
【详解】由题意可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，则线段的长度为．
故选：A．
10. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积.
【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接，
由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角，
则，而，于是，，
因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为.
故选：A

二、多选题：本大题共2小题，共10.0分.
11. 下列结论错误的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 直线与直线之间的距离为
C. 已知点，，点在轴上，则的最小值为
D. 已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义求出倾斜角可判断A；根据两平行线间的距离可判断B；点关于轴的对称点为，则求出最小值可判断C；求出临界值和，由可判断D，进而可得符合题意的选项.
【详解】对于，因为，，所以，因为直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为，故选项A错误；
对于B，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，
对于C，点关于轴的对称点为，则，所以，的最小值为，故选项C正确，
对于D，，，又因为直线与线段没有公共点，所以，故选项D错误，
故选：ABD.
12. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】求出向量的模判断A；利用向量的坐标运算，再结合向量共线、垂直的坐标表示判断BC；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】空间向量，
对于A，，，A正确；
对于B，，而，则向量与不共线，B错误；
对于C，，，
因此，C正确；
对于D，，因此在上的投影向量为，D错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共6小题，共30．0分.
13. 过点且与直线l：垂直的直线方程为______．（用斜截式方程表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的 斜率，再结合垂直得出斜率，最后点斜式写出直线方程化为斜截式即可.
【详解】因为直线l：的斜率为12，直线与垂直得出斜率为-2，
所以与直线l：垂直的直线方程为,即.
故答案为：.
14. 如图，在棱长为1的正方体中，直线到平面的距离等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系后，利用向量法可证平面，再求点到平面的距离即可.
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1,0,0，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，取，则，，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
又，所以.
又平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于直线到平面的距离为.
15. 已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为______；
【答案】且
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积及向量共线列式求出即得.
【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为且.
故答案为：且
16. 下列说法正确的是______．
①直线恒过定点
②直线在y轴上的截距为1
③直线的倾斜角为
④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为
【答案】①③
【解析】
【分析】求出直线过的定点判断①；求出纵截距判断②；求出倾斜角判断③；利用直线的截距式方程判断④即可得解.
【详解】对于①，直线恒过定点，①正确；
对于②，直线在y轴上的截距为，②错误；
对于③，直线的斜率为，其倾斜角为，③正确；
对于④，直线过点，在x，y轴上截距相等，直线l的方程可以为，④错误，
所以说法正确的是①③.
故答案为：①③
17. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】
分别讨论椭圆焦点在轴和轴上两种情况，采用待定系数法，根据和椭圆过可求得结果.
【详解】①当椭圆焦点在轴时，设其方程为，
长轴长是短轴长的倍，，又椭圆过，
，解得：，，标准方程为；
②当椭圆焦点在轴时，设其方程为，
长轴长是短轴长的倍，，又椭圆过，
，解得：，，标准方程为；
综上所述：所求椭圆的标准方程为或.
故答案为：或.
【点睛】易错点睛：采用待定系数法求解椭圆标准方程时，需注意椭圆焦点位置，若焦点位置不确定，需对焦点在轴和轴两种情况进行讨论.
18. 已知点是椭圆上任意一点，直线与两坐标轴分别交于，两点，则三角形面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求椭圆上一点到直线的最大距离，根据椭圆方程的特征，可以将椭圆上一点设为三角函数形式，利用三角函数求出距离的最大值
【详解】解析：由题意，，，则，是椭圆上任意一点，所以可设点的坐标为，则点到直线的距离
，
得．
故答案为：
四、解答题：本大题共4小题，共50.0分.
19. 已知圆C的圆心C的坐标为，圆C与直线和直线都相切，其中实数．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求实数m的值；
（3）若直线和相交于点P，且直线切圆C于点A，求切线长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用圆的切线性质及点到直线距离公式求出圆半径即可.
（2）利用点到直线距离公式列式计算即得.
（3）解方程组求出点的坐标，求出直线的方程，进而求出点的坐标及.
【小问1详解】
由圆C与直线相切，得点到直线距离为圆的半径，
则，
所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由圆C与直线相切，得，而，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，直线，
由，解得，则，
依题意，，直线的斜率为2，方程为，即，
由，解得，则，
所以.
20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值．
（3）令，，求出，由已知结合线面角的向量法求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，平面ABCD，，则直线两两垂直，
以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
而，，
则，
，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
设平面APC的法向量，则，
取，得，
设平面PCD的法向量，则，
令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
令，，则，
，由（2）知平面PAC的法向量，
由直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，得，
整理得，而，解得，
所以的值为.
21. 已知关于x，y的方程.
（1）若该方程表示圆C，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆外切，求m的值；
（3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）4； （3）或.
【解析】
【分析】（1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围.
（2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值.
（3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程.
【小问1详解】
方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
22. 已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论；
（3）Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）椭圆是“圆椭圆”，证明见解析；
（3）过定点，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由给定的离心率及短半轴长求出即可.
（2）设点，利用两点间距离公式，结合椭圆方程求出取得最大值的点位置即可推理得证.
（3）由（2）中点，求出点的坐标，由直线的点斜式方程求出点的坐标，再结合对称性可得圆过的定点必在轴上，设出此点坐标，利用向量数量积列式计算即得.
【小问1详解】
由，椭圆的离心率，得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设，则，
于是，
而，因此当且仅当时，，此时点，
即点P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，
所以椭圆是“圆椭圆”.
【小问3详解】
由（2）知，，设，则，，
直线，则，
若以线段为直径的圆过定点，由对称性知点在轴上，
设，则，而，
于是，即，解得，
所以以线段为直径的圆过定点.