河南省郑州市外国语中学2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省郑州市外国语中学2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了 已知，则下列各式中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，找出对称中心是解此题的关键．
【详解】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
2. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形可知：且，据此可确定出不等式组的解集．
详解】解：∵由图形可知：且，
∴不等式组的解集为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集，明确实心圆点与空心圆圈的区别是解题的关键．
3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可．
【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意；
B、，结果不是整式的乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、，不属于因式分解，不符合题意；
D、，等号左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：A ．
4. 已知，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，由此即可求解．
【详解】解：，
∴A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，则，原选项正确，符合题意；
D、a-5>b-5，原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
5. 在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是关键．
根据点的坐标关系得到点的平移是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可求解．点的平移规律是“左减右加，上加下减”．
【详解】解：平移至的位置．若顶点的对应点是，
∴是向右平移3个单位，向下平移1个单位，
∴点向右平移3个单位，向下平移1个单位得，
∴对应点的坐标是，
故选：D ．
6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键．
根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可．
【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，
∴，
故选：C ．
8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下述结论正确的有（ ）
①平分；②的周长等于
③；④点是线段的三等分点
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
①根据，得，再根据线段垂直平分线性质得，进而得，则，据此可对结论①进行判断；
②根据得，进而得的周长等于，据此可对结论②进行判断；
根据得，则，进而得，再根据即可对结论③进行判断；
④假设点D是线段的三等分点得，进而得，但是，根据已知条件无法判定，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①在中，，，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
平分，故结论①正确；
，
，
，
的周长等于，故结论②正确；
，
，
，
，
，
，故结论③正确；
④假设是线段的三等分点，
，
，
，
，
，
，根据已知条件无法判定，故结论④不正确；
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：C．
9. 如图，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，的锐角所对的直角边等于斜边的一半．过点作，可得出，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出的长，再由角平分线的性质求得的长．
【详解】解：过点作，
∵，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
的长为2．
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，一个电动玩具从坐标原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称…照此规律重复下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点的坐标与规律．根据坐标的变化找出变化规律是解题关键．设，根据中心对称点是对应点的中点，结合中点坐标公式求得前几个点的坐标，得到规律，根据规律即可求解．
【详解】解：设，
根据题意：点是点中点，
故：，解得：，
则，
点是点的中点，
故：，解得：，
则，
点是点的中点，
故：，解得：，
则，
点是点的中点，
故：，解得：，
则，
点是点的中点，
故：，解得：，
则，
点是点的中点，
故：，解得：，
则，；
依此类推，可得则，，，，，，
由此可知，点的坐标每6次一循环，
∵，
则的坐标与的坐标相同，
，
故选：A．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．
【答案】对应角相等的两个三角形全等
【解析】
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．
【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形．
故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12. 若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】-1
【解析】
【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可．
【详解】令，整式为
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形法求不等式的解集，掌握自变量值的计算，图形法求不等式解集的方法是关键．
根据题意得到，结合图形即可求解．
【详解】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点，
∴，
解得，，
∴，
结合图形，当时，，即，
故答案为： ．
14. 定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊗b＝a(a﹣b)+1，如：3⊗2＝3×(3﹣2)+1＝4．那么不等式2⊗x≥3的非负整数解是_____．
【答案】0，1
【解析】
【分析】根据题目给出的新运算定义，列出关于x的一元一次不等式，求解即可．
【详解】原不等式可变形为，
，
，
，
，
则不等式2⊗x≥3的非负整数解是0，1，
故答案：0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键．
15. 如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据旋转的性质，线段垂直平分线的性质得到，，，根据，分类讨论，数学结合分析即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形，
∴与重合，则；
如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形，
∴与重合，则；
故答案为： 或．
三．解答题（共55分，7小题）
16. （1）求不等式组的整数解；
（2）因式分解：
【答案】（1）不等式组的整数解为3、4；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法、公式法、解一元一次不等式组的步骤及是解题的关键．
（1）先求出两个不等式的解集，再求出公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解；
（2）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）由x-2x-3>1得，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为3、4．
（2）原式
．
17. 如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题（仅用无刻度直尺），
①格点（顶点均在格点上）的面积为______；
②画出格点绕点顺时针旋转后得到的；
③画出的角平分线．
【答案】①；②见解析；③见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，画旋转图形，网格中求三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．①利用割补法求解即可；②根据旋转方式和网格的特点作图即可；连接交于E，则即为所求．
【详解】解：①；
②如图所示，即为所求；
③如图所示连接交于E，则即为所求；
可证明，是等腰直角三角形，
则．
18. 如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上．
（1）若______，______，求证：．（请从信息“①，②为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）过点作于点，在（1）的条件下，当时，求的长．
【答案】（1），为的中点或为的中点，
（2）30
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，掌握以上知识，含30度角的直角三角形的性质是关键．
（1）根据等边三角形的性质，三线合一，等腰三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：选择①，②为的中点，求证：，
证明：是等边三角形，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
；
选择②为的中点，③，求证：，
证明：是等边三角形，
，
为的中点，
，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，为的中点或为的中点，；
【小问2详解】
解：如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
．
19. 已知方程组的解满足，
（1）求的取值范围；
（2）求为何整数时，不等式的解集为？
【答案】（1）
（2）或0
【解析】
【分析】本题主要考查加减消元法，不等式的性质，掌握二元一次方程组的计算，不等式的性质是关键．
（1）运用加减消元法得到，结合题意，运用不等式的性质即可求解；
（2）根据题意，由不等式，得2a-1x>2a-1，由解集为，得到，结合不等式的性质即可求解．
【小问1详解】
解：两个方程相加可得，
则，
根据题意，得：，
解得，
即的取值范围是；
【小问2详解】
解：由不等式，得2a-1x>2a-1，
不等式的解集为，
，得，
又，且为整数，
即的值是或0．
20. 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若多项式是一个完全平方式，则常数______；
（2）用配方法分解因式：；
（3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】（1）64 （2）
（3）当时，有最大值，最大值是7
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键．
（1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值；
（2）先配成完全平方，再用平方差公式分解；
（3）先配方，再利用非负数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：
，
是一个完全平方式，
，
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
．
当时，有最大值，最大值是7．
21. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．
【答案】（1）
（2）16辆 （3）共有4种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输3次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输1次，用扶手电梯运输6次，直立电梯运输0次
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式．
（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式；
（）把代入解析式，求出值即可；
（）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
车身总长与购物车辆数的表达式为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车；
【小问3详解】
解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
根据题意得：，
解得，
为正整数，且，
，
共有4种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输3次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输1次，用扶手电梯运输6次，直立电梯运输0次．
22. 综合与实践
如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
【观察猜想】（1）当点在线段上时，通过图形旋转的性质可知______，______度；
【探究证明】（2）如图2，当点在延长线上时，探究线段，，的关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在中，，，平面内任一点，且，将线段绕点顺时针旋转得，请直接写出的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）最大值，最小值是
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）根据题意，运用边角边证明即可求解；
（3）根据题意得到，，如图所示，过点作，交延长线于点，连接，证明，进而可得当点运动到点的位置时，是最大值，当点运动到点的位置时，是最小值，由此即可求解．
【详解】解：（1）旋转的性质可知，，
故答案为：，；
（2），理由如下，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，，
如图所示，过点作，交延长线于点，连接，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，，
∵旋转，
∴，，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∵，
∴当点运动到点的位置时，是最大值，当点运动到点的位置时，是最小值，
∴最大值是，最小值是．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判和性质，线段最值的计算方法，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：．
信息1
购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米．
信息2
购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．