2025年河南省信阳市光山县部分学校九年级中考一模数学试题（解析版）-

这是一份2025年河南省信阳市光山县部分学校九年级中考一模数学试题（解析版）-，共23页。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上表示负数的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查数轴，负数，熟练掌握数轴的相关概念是解题的关键．利用数轴上的负数在原点左侧，即可得．
【详解】解：由数轴上的负数在原点左侧，
则数轴上表示负数的点是，
故选：A．
2. 河南省提出到年，大数据产业规模突破亿元，产业规模居全国第一方阵．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则．
【详解】解：亿，
，
故选：C．
3. 如图，直线和相交于点，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查对顶角，垂直，角度的和差，熟练掌握这些定义和运算方法是解题的关键．利用对顶角得出，再利用垂直得，最后利用角度和差即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4. 如图是一个正五棱柱模具，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．利用三视图的定义即可得，注意看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线．
【详解】解：根据题意得俯视图为：
故选：C．
5. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练在掌握不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．根据不等式组无解，结合大大小小找不到（无解），即可判断与的大小关系．
【详解】解：∵关于的不等式组xm无解，
∴的取值范围是，
故选：B．
6. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ）
A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一直角边对应相等D. 两锐角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定及直角三角形全等的判定是解题的关键．
【详解】A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
D、两锐角相等和直角对应相等，不能证明两直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
7. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查乘方、乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘方的定义得，利用乘法的定义得利用代数式表示为，即可得．
【详解】解：
，
故选：A．
8. 唐代陶瓷业达到了中国陶瓷史上的第一个高峰、形成“南青、北白、长沙彩”的繁荣局面．正面印有唐代著名陶瓷代表作品的五张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用列表或树状图求概率，熟练掌握利用列表或树状图求概率的方法是解题的关键．设五张卡片依次为，，，，，列表或画树状图，即可求解．
【详解】解：设五张卡片依次为，，，，，
根据题意列表如下：
共有种等可能得情况，其中两次抽取的卡片正面相同的有种，
故两次抽取的卡片正面相同的概率为，
故选：B．
9. 如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了复杂图形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．延长，交于点，，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如下图，延长，交于点，，
∵边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，
∴图中阴影部分的面积
．
故选：C．
10. 如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和某种不易汽化、密度比水小的防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示．下列说法中正确的是（ ）

A. 随着原液含量逐渐增大，防冻冷却液凝固点逐渐降低
B. 当防冻冷却液沸点为时，原液含量约为
C. 原液含量每增加，防冻冷却液沸点的增加量相同
D. 当原液含量低于时，随着原液含量的逐渐增大，防冻冷却液沸点与凝固点的差值减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从函数图形获取信息．根据题目条件和图2和图3即可逐一进行判断．
【详解】解：A、随着原液含量逐渐增大，防冻冷却液凝固点先降低后增大，原说法错误，本选项不符合题意；
B、当防冻冷却液沸点为时，原液含量约为，说法正确，本选项符合题意；
C、原液含量每增加，防冻冷却液沸点的增加量不相同，原说法错误，本选项不符合题意；
D、当原液含量低于时，随着原液含量的逐渐增大，防冻冷却液沸点与凝固点的差值增大，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．利用合并同类项的运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 张大伯去年种的棵水果白菜喜获丰收．如图是随机抽测其收获的水果白菜的重量的统计图，则张大伯收获的重量低于的水果白菜约有______棵．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握样本估计总体的方法是解题的关键．由扇形统计图可得低于的水果白菜占总体的百分比为，再利用样本估计总计即可得．
【详解】解：由题意得低于的水果白菜占总体的百分比为，
则估计重量低于的水果白菜约有（棵），
故答案为：．
13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则任写一个符合条件的的值：______．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先求出m的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
14. 如图，菱形的顶点在轴上，于点，将菱形沿所在的直线折叠，点的对应点为．连接，若，点的横坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标．
【详解】解：如图，令与的交点为，
四边形是菱形，，
，，，
，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为，
，
，即，
，
点的横坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
15. 等边和等边按如图位置放置，，，将绕点在平面内自由旋转，连接，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了线段的和与差，等边三角形的性质．画出图形，利用线段的和与差计算即可求解．
【详解】解：如图，当点在线段的延长线上时，有最大值，
的最大值为；
如图，当点在线段上时，有最小值，
的最小值为；
故答案为：；．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，涉及二次根式，负整数指数幂，还考查了分式混合运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式，负整数指数幂进行计算即可；
（2）利用分式的混合运算法则进行化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 河南中牟县的姚家镇草莓种植面积达亩，被称为“全国十大草莓生产基地”之一．草莓种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：．滴灌，．漫灌．为对比产量，某种植户对两种浇灌方式下的垄草莓产量（单位：千克）做出了如下统计：
：，，，，，，，，，．
：，，，，，，，，，．
并得到了如下不完整的统计表：
（1）表格中的______，______；
（2）若种滴灌方式共种植垄，种漫灌方式共种植垄，那这垄的总产量大约是多少？
（3）从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？并说明理由．
【答案】（1）；
（2）千克
（3）选择种漫灌方式，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查数据的分析，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和应用是解题的关键．
（1）利用中位数和众数的定义即可求解；
（2）利用平均数的应用即可求解；
（3）利用平均数、中位数、众数和方差进行决策即可．
【小问1详解】
解：∵中共个数据，
∴中位数是从小到大排列后的第个和第个的平均数，
∴中位数；
∵中出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由题意得（千克），
答：这垄的总产量大约是千克；
【小问3详解】
解：选择种漫灌方式，理由如下：
因为种漫灌方式的平均数、中位数和众数都小于种漫灌方式，且种漫灌方式的方差小于种漫灌方式，所以选择种漫灌方式．
18. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象；
（3）将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）单位长度
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由解析式得出得反比例函数过点，，，描点画图即可；
（3）设点向下平移个单位长度得，得，再代入求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
【小问3详解】
解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
19. 如图，在中，， ，是的中位线．
（1）请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，，求证：．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，中位线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）利用尺规作图作一个角等于已知角作图即可；
（2）利用，得出，利用则可得，再利用中位线判定，得出四边形是矩形，即可判定．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
20. 如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，其中点为与的交点，连接．
（1）仅从球员对球门的视角大小考虑，甲（视角）是自己射门好，还是迅速将球回传给乙（视角），让乙射门好？说明理由；
（2）如图2，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动．当过，，三点的圆与水平线相切于点时，视角最大．当最大为时，此时恰好，若此时观察者与墙的水平距离是，求展品的竖直高度的长．
【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）利用圆周角定理得，利用外角性质得，则，可得，即可解决；
（2）设与墙所在直线交于点，由题意可得，，利用，得出，，在中利用含角的直角三角形的性质求出，即可求解．
小问1详解】
解：甲自己射门好，理由如下：
∵点，都在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
即甲的视角大于乙的视角，
∴甲自己射门好；
【小问2详解】
解：如图，设与墙所在直线交于点，
∵是水平线，墙是竖直线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
21. 学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元．
（1）分别求出甲、乙两种笔记本的单价；
（2）现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】（1）甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元
（2）购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式及函数关系式．
（1）设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，根据“购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元”列出一元一次方程，即可解得；
（2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质即可求解．
【小问1详解】
解：设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，
根据题意得：，
解得，
，
答：甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元；
小问2详解】
解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，
，
解得，
设所需费用为元，
，
，
随的增大而增大，
时，最小，最小值为（元，
此时，
答：购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元．
22. 一个物体从地面竖直向上抛，满足（不计空气阻力），其中（单位：）是物体距离地面的高度，（单位：）是初速度，是重力加速度（取），（单位：）是抛出物体后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
（1）求小球能达到的最大高度；
（2）若在小球抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求两次抛球的时间差．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
（1）根据题意得出关于的二次函数关系式，再利用其性质即可得出最值，即可求解；
（2）把代入函数解析式得到关于的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，
∵，，
∴抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，
即小球能达到的最大高度为；
【小问2详解】
解：由题意得，
∴，
解得：，，
，
答：两次抛球的时间差为.
23. 综合与实践．
【答案】（1）5；；（2）见解析；（3）见解析；（4）．
【解析】
【分析】（1）根据“和谐四边形”的性质求解即可；
（2）根据“和谐四边形”的性质作出图形即可；
（3）根据“和谐四边形”的性质求得，推出，再利用平行线的性质得到，据此即可证明结论成立；
（4）作于点，证明四边形为正方形，在中，利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）图1中，，，
∴“和谐四边形”内，相等邻边的长度为5；
图2中，，
∴“和谐角”的度数为；
故答案为：5；；
（2）如图3中，点即为所作；
；
（3）∵“和谐角”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∵四边形为“和谐四边形”，且为“和谐角”，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义“和谐四边形”，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
平均数
中位数
众数
方差
用数学的眼光观察
如图1和图2，在单位长度为1的的网格中，四边形的顶点都在格点上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此定义为“和谐四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“和谐角”，
（1）图1中“和谐四边形”内，相等邻边的长度为______；
图2中“和谐角”的度数为______；
（2）请在图3中确定格点，使得四边形为“和谐四边形”，且“和谐角”为；
用数学思维思考
（3）如图4，四边形为“和谐四边形”，，且为“和谐角”，连接，求证：；
用数学的语言表达
（4）如图5，四边形为“和谐四边形”，，且为“和谐角”，连接，交于点，若，，直接写出的长．