2025年河南省平顶山市部分学校九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年河南省平顶山市部分学校九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版），共32页。
1．本试卷共6页，三个大题，消分120分，考试时间100分钟．
2．不要在木试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，点所表示的数最小的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
2. 河南博物院是我国重要的历史文化艺术宝库，馆藏文物丰富多样．近期馆内新整理出一批具有代表性的文物，共有45000件．数据“45000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 红B. 柳C. 烟D. 雨
4. 下列运算错误是（ ）
A. B.
C D.
5. 燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（ ）
A. 北偏东B. 北偏东C. 北偏西D. 北偏西
6. 学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）
A. 9.9元B. 10.9元C. 11元D. 11.2元
7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能为（ ）
A. B. C. 0D. -1
8. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，菱形的中心与坐标系的原点重合，且点在第一象限的角平分线上，已知，将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
10. 烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A. 光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B. 当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C. 若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D. 当光照强度为时，控制电路中的电流为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个使分式有意义的值：___________．
12. 三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为___________．
13. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为_________．
14. 如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是___________．
15. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
17. 悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点处放一平面镜，沿方向前进米到达处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再沿方向前进米将另一面平面镜放在处（即米），此时在距离平面镜米的点处恰好再次看到塔的顶部点．已知观察者眼睛到地面的距离米，点在同一条直线上，求无影塔的高度（结果精确到米）．
18. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析．
【收集数据】
甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75．
乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75．
【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图．
抽取学生的竞赛成绩折线统计图
【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表．
【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题：
（1）填空：___________，___________，___________（填“”“”或“”）．
（2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．
19. 如图，为的外接圆，且为的直径．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
20. 如图，等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限内，已知点的坐标是，反比例函数的图象经过的中点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将沿轴向左平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，设平移的距离为，求的值．
21. 产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
（1）求线下和线上销售的冬桃数量．
（2）小王又采摘了450千克冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
22. 在农村，很多农户依然保留着手工制作粉条的习惯，流程一般为：清洗红薯、破壁粉碎、吊坨过滤（图）、静置沉淀、捞取淀粉、制作粉条．吊坨过滤的截面图可抽象为如图所示的抛物线，已知粉坨表面宽为，粉坨最大深度为，粉坨下容器的底面直径为，且，粉坨的最低点位于的正上方．
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出粉坨最低点的坐标．
（2）根据（1）中所建的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式．
（3）若向粉坨中添加水（假设纱布位置形状不变），使得粉坨表面的最大宽度不超过容器底面直径的长，则粉坨的最大深度为多少？
23. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．
【概念理解】
（1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________．
【性质探究】
（2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”．
【拓展应用】
（3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长．
2025年河南省普通高中招生考试试卷
双基夯实卷（一）数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，消分120分，考试时间100分钟．
2．不要在木试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，点所表示的数最小的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴的定义，有理数的大小比较，理解有理数与数轴上的点的对应关系是解题关键．数轴上的点从左往右，对应点表示的数从小到大，由此可判定．
【详解】在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．由图可知，数轴上最左边的点表示的数最小．
故选：A ．
2. 河南博物院是我国重要的历史文化艺术宝库，馆藏文物丰富多样．近期馆内新整理出一批具有代表性的文物，共有45000件．数据“45000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
3. 王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 红B. 柳C. 烟D. 雨
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．
【详解】解：由正方体的展开图可知，
与“桃”字所在面相对面上的汉字是“雨”，
故选：D．
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，完全平方公式，掌握各知识点是解题的关键．
分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方计算公式、合并同类项法则和完全平方公式进行判断即可．
【详解】解：A、，原运算正确，不符合题意；
B、，原运算错误，符合题意；
C、，原运算正确，不符合题意；
D、，原运算正确，不符合题意；
故选：B．
5. 燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（ ）
A. 北偏东B. 北偏东C. 北偏西D. 北偏西
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方位角、平行线的性质．根据题意求得是等边三角形，推出，先根据平行线的性质可得，可得，最后根据方位角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，标记，
由题意，知，
∵三个村庄之间的直线距离两两相等，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴村位于村北偏东方向上，
故选：A．
6. 学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）
A. 9.9元B. 10.9元C. 11元D. 11.2元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
【详解】由扇形统计图，知当天10元价位的午餐销售占比为40%，因此当天学生购买午餐的平均费用是（元），
故选：B．
7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能为（ ）
A. B. C. 0D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得．
故选：A．
8. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，由图象可得，即可判断；由图象与轴有两个交点可判断；由二次函数的对称性可得当时，，即可判断；根据二次函数的对称轴可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图象得，，
，故选项错误；
∵二次函数图象与轴有两个交点，
，故选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
，故选项错误：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
，故选项正确，
故选：．
9. 如图，菱形的中心与坐标系的原点重合，且点在第一象限的角平分线上，已知，将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是关键．根据题意得到旋转98次后点的对应点和旋转2次后点的对应点的坐标相同．据此进行解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点、连接．
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴．
点在第一象限的角平分线上，
∴点的坐标为
旋转98次后点的对应点和旋转2次后点的对应点的坐标相同．
∵点与点关于原点成中心对称．
点坐标为
∴点的坐标为．
故选 ：C．
10. 烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A. 光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B. 当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C. 若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D. 当光照强度为时，控制电路中的电流为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据反比函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确；
B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得；
C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由，可知应减小控制电路电压，故C选项错误；
D、当光照强度为时，可知光敏电阻控制电路中的电流，故D选项正确；
故选 C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个使分式有意义的的值：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：根据分式有意义的条件得：，
解得：，
所以当时，分式有意义，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式组．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
解得．
故答案为：
13. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法．
通过树状图列出所有可能性后，再根据概率所求情况数与总情况数之比即可求解．
【详解】解：把三部影片分别记为、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有种，
琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出，过点作于点，求得，再根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
15. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________．
【答案】5或
【解析】
【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，
∴当与相切时，最大
如图1，当点P在左侧时，
根据题意得，，，
∵
过点P作，交的延长线于点H，
∴
∴，
又∵
，即
，，
∴在中，；
如图2，当点P在右侧时，
同理，可得，，
∴
∴在中，．
综上所述，的长为5或．
故答案为：5或．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式依次计算，然后再进行加减运算即可；
（2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分化简即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
17. 悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点处放一平面镜，沿方向前进米到达处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再沿方向前进米将另一面平面镜放在处（即米），此时在距离平面镜米的点处恰好再次看到塔的顶部点．已知观察者眼睛到地面的距离米，点在同一条直线上，求无影塔的高度（结果精确到米）．
【答案】无影塔的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
证明得到，，代入数据即可解答．
【详解】解：由题意，知，
，
，
，即，
解得，
，
则，
解得（米），
答：无影塔的高度约为米．
18. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析．
【收集数据】
甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75．
乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75．
【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图．
抽取学生的竞赛成绩折线统计图
【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表．
【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题：
（1）填空：___________，___________，___________（填“”“”或“”）．
（2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．
【答案】（1），，
（2）甲班，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可，根据方差的意义进行判断即可；
（2）根据平均数和方差的意义进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
，
由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中，
，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：甲班成绩较好，理由如下：
①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好；
②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，折线统计图，根据方差判断稳定性（逆用），利用平均数做决策，运用方差做决策等知识点，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的概念及折线统计图是解题的关键．
19. 如图，为的外接圆，且为的直径．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、圆周角定理、切线的性质，等腰直角三角形的判定．
（1）利用尺规作图以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点，再作线段的垂直平分线交线段的延长线于点，直线即为所求；
（2）根据可知，根据等边对等角可得，根据切线性质可知，所以，所以可证是等腰直角三角形．
【小问1详解】
解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点，
分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于两点，
过两交点作直线交的延长线于点C，
直线即为所求．
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形．
理由如下：
，
，
为的直径．
，
，
为切线，
，
，
，
为等腰直角三角形．
20. 如图，等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限内，已知点的坐标是，反比例函数的图象经过的中点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将沿轴向左平移，当点对应点恰好落在反比例函数的图象上时，设平移的距离为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，根据为等边三角形，点的坐标为得到，再利用解直角三角形的知识求得，得到点的坐标为，又点为的中点，所以点，最后将点代入，求得的值，即可得到答案；
（2）由题意，得点的坐标为，再将代入反比例函数解析式，求出的值即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为，
为等边三角形，点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
点为的中点，
点，
把点代入，
得，
反比例函数的表达式是；
【小问2详解】
解：由题意，得点的坐标为，
把点代入，
得，
解得：，
的值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
21. 产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
（1）求线下和线上销售的冬桃数量．
（2）小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
【答案】（1）线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克
（2）线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确列出方程组和一次函数解析式是解答本题的关键．
（1）设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克，找出等量关系列出方程组求解即可；
（2）设线上销售冬桃的数量为千克，先求出，再销售额=线上销售额+线下销售额列出函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克．
由题意，得
解得
答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．
【小问2详解】
解：设线上销售冬桃的数量为千克，则线下销售冬桃的数量为千克，销售额为元．
由题意，得，解得．
由题意，得
，
随着的增大而减小．
当取最小值300时，取最大值．
．
答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．
22. 在农村，很多农户依然保留着手工制作粉条的习惯，流程一般为：清洗红薯、破壁粉碎、吊坨过滤（图）、静置沉淀、捞取淀粉、制作粉条．吊坨过滤的截面图可抽象为如图所示的抛物线，已知粉坨表面宽为，粉坨最大深度为，粉坨下容器的底面直径为，且，粉坨的最低点位于的正上方．
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出粉坨最低点的坐标．
（2）根据（1）中所建的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式．
（3）若向粉坨中添加水（假设纱布位置形状不变），使得粉坨表面的最大宽度不超过容器底面直径的长，则粉坨的最大深度为多少？
【答案】（1）见解析 （2）抛物线的表达式为（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了建平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）以所在直线为轴，的中点为原点，建立平而直角坐标系，再根据粉坨最大深度为，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点坐标为，故设抛物线的表达式为，再将代入，解出的值即可求解；
（3）将代入，求出的值即可．
【小问1详解】
解：以所在直线为轴，的中点为原点，建立平而直角坐标系如解图所示：（答案不唯一），粉坨最低点的坐标为（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：由（1），知抛物线的顶点坐标为，故设抛物线的表达式为，
由题意，知点，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：当粉坨表面的最大宽度恰好为容器底而直径的长时，
将代入，
解得：，
粉坨的最大深度为．
23. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．
【概念理解】
（1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________．
【性质探究】
（2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”．
【拓展应用】
（3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答；
（2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证；
（3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答．
【详解】．
解：（1）情况一：点与点在同侧，
点、 关于互为“唯美点”，且，
，
又点在线段的垂直平分线上，
，，
，，
则；
情况二：点与点在异侧，
点、 关于互为“唯美点”，且，
，
又点在线段的垂直平分线上，
，，
，，
由于、在异侧，
；
综上所述，或，
故答案为：或；
（2）证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
又均为等腰三角形，其中，
点与点关于互为“唯美点”；
（3）当点在线段上时，如解图所示，连接，
点与点关于互为“唯美点”，
，
，
又，
，
设，
，，
，
，
在中，，
即，
解得，
；
当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接，
同理，可得，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
特征数班级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲班
82.25
80
乙班
82.25
90
特征数班级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲班
82.25
80
乙班
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