河南省漯河市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省漯河市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是最简二次根式，符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. ，2， B. 4，5，6C. 6，8，10D. 3，4，4
【答案】C
【解析】A、，2，这三个数不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、，是勾股数，故选项符合题意；
D、不是勾股数，故选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列属于一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程；
B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义；
C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程；
D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件．
故选：C．
4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，应该选择乙参赛，
故选：B．
5. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】∵一元二次方程有一个根是2，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴以为直径的半圆的半径为，以为直径的半圆的半径为1，以为直径的半圆的半径为2，
∴阴影部分的面积之和．
故选：B．
7. 若与成正比例，则是的( )
A. 反比例函数B. 正比例函数
C. 二次函数D. 一次函数或正比例函数
【答案】D
【解析】根据题意，设，，
∴，
当时，是的正比例函数，
当时，是的一次函数，
∴是的一次函数或正比例函数，
故选：D．
8. 如图，是中位线，平分，且，若，则的长为（ ）
A. 1.5B. 2.5C. 2D. 3
【答案】C
【解析】∵是三角形的中位线，，
∴，
在中，是的中点，，
则，
∴，
故选：C．
9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；
②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】由函数图象可知，甲无人机上升的速度为，故①正确；
由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离底面的高度都为，
则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误；
乙无人机的速度为：，
∴时，乙无人机距离地面的高度是，故③错误；
时，两架无人机的高度差为：，故④正确；
故选：B．
10. 如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（ ）
A. 2B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为，
则正方形边长为4，
，
当点P运动到中点时，E为边的中点，
，
此时，
故选：D．
二、填空题
11. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________．
【答案】
【解析】因为点A表示的数是，点C表示的数是1，
所以,
因为且，
所以，
因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，
所以，
所以点D表示的数是；
故答案为：．
12. 已知、都是实数，且，则_________．
【答案】
【解析】根据题意可得，，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知关于的一元二次方程没有实数根，请写出一个符合条件的整数的值为_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴当时，关于的一元二次方程没有实数根，
故答案为：．
14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于__________米．
【答案】
【解析】如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米）．
故答案为：米．
15. 如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点．
（）若点的横坐标为，则______；
（）若为线段中点，连接，则的最小值为______．
【答案】①. ②.
【解析】（）∵点和点分别为轴与轴上一点，，
，，
为直线上一点，点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
交轴于点，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
故答案为：；
（）由（）知，，，
为线段中点，
，
作轴于点，轴于点，
点在直线上，，
，
，，
，
在与中，
，
（），
，
作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16. （1）计算：；
（2）解方程：.
（1）解：
；
（2）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴或.
17. 为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是：
48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50.
七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？
解：（1）七年级A等级人数为12人，B、C、D总人数为8人，成绩按从小到大排列，
其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为A等级中的48，48，
∴七年级成绩的中位数；
∵八年级学生竞赛成绩满分，人数最多，
∴八年级成绩的众数，
∵七年级A等级人数对应百分比为，
，即．
故答案为：48；50；25．
（2）八年级学生竞赛成绩更好，
因为八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，大多数的成绩较好（答案不唯一，合理均可）．
（3）（名）.
18. 已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求：
（1）直线的表达式及点C的坐标；
（2）关于x的不等式的解集．
解：（1）直线经点，，
∴，
解得，
直线的表达式为．
直线与直线相交于点，
，
解得，
点．
（2）根据图象可得，关于的不等式的解集为．
19. 如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．
（1）试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；
（2）若，求工厂C到B市的距离．
解：（1）∵，，．
且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
20. 如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
（1）判断与有什么数量关系，并说明理由．
（2）当，，求的长．
解：（1），理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
，
在中，根据勾股定理得．
21. 小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元．
（1）求，两种品牌每袋糯米的价格：
（2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？
（3）小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确．
解：（1）设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格是元，
根据题意，得，
解得，，
经检验，是所列分式方程的根，
（元），
答：品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元．
（2）设购买品牌糯米袋，则购买品牌糯米袋，
根据题意，得，
解得，，
设花费元，则，
∵，
∴随的增大而增大，
∵，且为非负整数，
∴当时，最小，
此时，（元），（袋），
答：购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元．
（3）购买品牌糯米整箱，购买品牌整箱，需要花费（元），
∵，
∴购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，
答：小红的猜想正确．
22. 综合与实践
小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究.
①列表：
表格中_________，_________；
②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？
④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质．
⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________．
解：①∵，
∴当时，，
当时，，
∴；
②画出函数图象如图：
③由图象知该函数有最小值为，没有最大值；
④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；
⑤，两点都在该函数图象上，且，
∴关于直线对称，
∴．
23. 【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形．
（1）【理解运用】
下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）【拓展提升】
如图，中，，分别以，为边向外作菱形和菱形，且，连接，，．
①求证：四边形是强等线四边形；
②若，，，分别是，的中点，连接，直接写出的长．
（1）解：②④．理由如下：
①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；
③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
④正方形对角线相等，它一定是等线四边形，
故答案为：②④；
（2）①证明：如图，连接，交于点，交于点．
，
，
即．
∵四边形和均为菱形，
，．
．
，．
∴四边形是等线四边形．
，．
．
∴四边形是强等线四边形．
②解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠BAC=30°，
∴,
菱形ACFG和菱形ABDE中，AG=AC=，AE=AB=4，∠CAG=∠BAE=60°，
∴ΔACG、ΔABE都是等边三角形，∠GAE=∠CAG+∠BAC+∠BAE=150°，
∴CG=AC=，BE=AB=4，∠AGC=∠AEB=60°，∠AGE+∠AEG=180°-∠GAE=30°，
∴∠CGE+∠BEG=∠AGC+∠AEB-（∠AGE+∠AEG）=90°，
连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM、QM，如图所示，
∵P、Q分别是BC、GE的中点，
∴PM，QM分别是ABCE、ACGE的中位线，
∴PM=BE=2，PM//BE，QM=CG=，QM//CG，
∴∠CMP=∠CEB，∠MQE=∠CGE，∠CMQ=∠MQE+∠CEG，
∵∠CMQ=∠CGE+∠CEG，
∴∠CMQ+∠CMP=∠CGE+∠CEG+∠CEB=90°，
在Rt△PQM中，由勾股定理，得，
即PQ的长为．甲
乙
丙
丁
平均数/cm
175
180
180
175
方差
3.2
3.2
5.4
6.1
年级
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
48
a
50
八年级
48
49
b
…
0
1
2
…
…
3
1
3
…