2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点17圆锥曲线韦达与非韦达定理(培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点17圆锥曲线韦达与非韦达定理(培优专项训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了已知抛物线，已知椭圆，过点，焦距为.等内容，欢迎下载使用。

考向01 韦达定理基础1：五个方程型
1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求证：；
(3)若，求实数k的值．
2．（25-26高三下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8.
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径.
3．（25-26高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线．
(1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值；
(2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围．
考向02 韦达定理基础2：横截式型
4．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且.
(1)求；
(2)若过点的直线交于，两点，且，求的值.
5．（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于，两点，为原点，求证：．
6．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由.
考向03 韦达定理基础3：双变量型
7．（陕西榆林市2026届高三模拟预测数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长；
(3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围．
8．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点．
9．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
考向04 韦达定理基础4：最值范围型
10．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若关于轴的对称点为，求的面积的最大值.
11．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
12．（2026·山东济宁·一模）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)求内切圆半径的取值范围.
考向05 第六个方程转化1：特殊的转化
1．（2026·甘肃兰州·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点.
（i）证明：为定值；
（ii）若，四边形的面积为，求的最大值.
2．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点．
3．（25-26高二下·辽宁·开学考试）已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点．
(1)求抛物线和双曲线的标准方程；
(2)动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程；
(3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
考向06 第六个方程转化2：定点定值型转化
4．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点．
（i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值；
（ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由．
5．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆的右焦点为，且．
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于两点．
（i）若直线不与轴重合，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）若直线与直线相交于点，求的值．
6．（25-26高二上·山东济宁·期末）椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且．
①证明：直线过定点；②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值．
考向07 第六个方程转化3：双直线型
7．（河北邯郸市2026届高三第一次模拟检测数学试卷）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程．
(2)若的面积为24，求点的坐标．
(3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
8．（25-26高三下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点．
(1)求C的方程；
(2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；
(3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t．
考向08 韦达定理不能直接用1：一个方程两个根
1．（2011·浙江·高考真题）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
2．（19-20高二上·湖南长沙·月考）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为､.
（1）若，求，所在直线方程；
（2）若两条切线，与轴分别交于､两点，求的最小值.
3．（19-20高三上·浙江台州·期末）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（Ⅰ）若点为，求直线的方程；
（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．
考向09 韦达定理不能直接用2：定比分点型
7．（2026高三下·重庆·专题练习）设双曲线的右焦点为，过的直线交该双曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点．
(1)已知在双曲线的同一支，且，求的面积．
(2)过平行于的直线分别交直线、轴于，，记，求实数的值．
8．（25-26高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点．
（ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标．
（ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程．
9．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，.
（ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程；
（ⅱ）若，，求的值.
考向10 韦达定理不能直接用3：非对称型
1．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为．
①求证：为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值．
2．（25-26高二上·上海·期末）设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为.
(1)若离心率，求椭圆的标准方程；
(2)若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值；
(3)若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由.
3．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）在平面直角坐标系中，已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点（在的左侧），不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为．
(1)求该曲线的标准方程；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
考向11 综合1：坐标运算型
1．（21-22高三·重庆渝中·月考）已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
2．（2005·广东·高考真题）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两个不同的动点A、B满足．
(1)求的重心G的轨迹方程；
(2)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
3．（2018·安徽合肥·一模）已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
3.如题图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为
（II）设，则由得
因为点M，N在椭圆上，所以
，故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此
所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
考向12 综合2：齐次化法
4.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】（1）【解法一】(常规设法)：将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，当m+2k−1=0时，直线l：y=kx−2k+1过点A，不合题意，舍去.,故；
利用坐标平移变换将坐标原点平移到， 设新坐标系下直线的方程为，
双曲线的方程为：即，则化齐次联立，得
即，
两边同时除以，得，
方程的两根即为直线的斜率，即
2.（2023年新课标Ⅱ卷 第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，双曲线方程为.
［方法一］：通性通法：
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，据此可得点在定直线上运动.
［方法二］：非对称韦达定理：
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则， 所以，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
由可得，即，据此可得点在定直线上运动.
［方法三］：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点处，则在新的坐标系下双曲线的方程为，设直线的方程为．
将直线方程与椭圆方程联立得，
即，化简得，
即．由韦达定理得
设，
直线方程过点，所以．则。由于,则．
设直线，联立方程得，
5.已知椭圆，，若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
解法1齐次化：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，由于，∴点P到直线l距离的最大值
6.如图，已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，记，.
（1）若，求的最小值；
（2）若对任意的直线，，恒为锐角，求的取值范围.
浙江省宁波市宁海中学2020-2021学年高三上学期9月第一次模拟数学试题
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）解：设：，，.
与抛物线联立得：，由韦达定理：，.
，，.
由余弦定理：.
故，即的最小值是.
（2）解：设，，.
要使，恒为锐角，只需满足恒大于0即可，.
①若，则.即.
②若，显然成立.注意到，，故.故.

考向13 综合3：极点与极线
7．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.

(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.
①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.
8．（24-25高二上·山东菏泽·期末）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，；
(3)若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
9．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、.
(1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程；
(2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
(3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
1．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）记椭圆的左、右焦点分别为为上一点，，点满足，且不与重合．
(1)证明：；
(2)若，求的外接圆半径；
(3)若，求．
2．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点.
(1)证明：；
(2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值.
3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，
(1)求的面积的最小值．
(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
4．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，.
（ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程；
（ⅱ）若，，求的值.
5．（23-24高一上·湖北十堰·自主招生）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
结束
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近三年：近三年高考数学圆锥曲线大题的考查呈现核心考点稳定、命题形式灵活、综合难度中等偏上的特点，聚焦椭圆、抛物线、双曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查逻辑推理、运算求解及综合应用能力．联立方程与韦达定理应用：这是贯穿大题的核心方法，需联立直线与曲线方程，消元得到一元二次方程，利用判别式判断交点个数，再通过韦达定理推导根与系数的关系（横坐标之和、积或纵坐标之和、积）。
预测2026年：2026 年高考圆锥曲线大题考察，核心仍是直线与曲线联立 + 韦达定理 + 坐标运算，重点考查定点、 定值、最值 / 范围、向量交汇、几何转化。备考需夯实基础、强化运算、突破创新，掌握 “设而不求、整体代换、几何转代数” 三大核心技巧，是高考复习备考的核心方向。
“五个方程”（过去老高考对韦达定理型的直观称呼。）
一直一曲俩交点。
直线有没有？是那种未知型的？
已知过定点。则可设为，同时讨论k不存在情况。如
3.曲线方程有没有？俩交点：设为
4.联立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同时不要忘了判别式
或者
得到对应的韦达定理
或
目标，就是把题中问题转化为第六个关于韦达定理的方程或者不等式，代入求解
直线横截式设法技巧
（1）直线AB方程为，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。
（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
面积最值，实际上是处理最终的“函数最值”。
各类型“函数式”最值规律：
分式型：以下几种求最值的基本方法
一元二次型：注意自变量取值范围
高次型：整体换元或者求导
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意
注意变量的范围。
式子转化为求值域或者求最值的专题复习
在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方程”。
具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。
隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。
没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。
直线过定点：
1、直线多为y=kx+m型
2.目标多为求：m=f（k）
3.一些题型，也可以直接求出对应的m的值。
求定值问题常见的思路和方法技巧：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题
双直线型最常见的是斜率关系求值型：
1.给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
2.
“一个方程两个根”型，比较常见是是切线，设切线斜率为k时，在计算过程中，建立关于k的一元二次方程，该方程的两个根，也是两条切线的斜率。
若有
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）
可以利用公式，可消去
非对称型韦达定理应用，先韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.
具体办法为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.
坐标运算型是圆锥曲线综合题型的一种，核心围绕点的坐标表示、坐标间的代数运算、坐标间的代数运算、曲线方程与坐标的结合展开，通过对动点、交点、中点等核心点的坐标设元，结合曲线方程、向量关系、斜率、距离公式等进行代数推导，解决轨迹、垂直、中点弦、面积、定值、定点等问题，所有几何关系最终都转化为坐标的代数运算，是与韦达定理、点差法等方法互相嵌套且又各自独立。
方法拓展
拓展：齐次化巧解斜率的和积问题
原理：平移不改变直线的斜率、韦达定理的运用
步骤：①设：设两直线的斜率分别为k1和k2；
②移：将直线和曲线整体平移，使得两直线的公共点落在原点，写出平移后曲线的方程，并将平移后的目标直线设为固定形式：mx+ny=1 若与定点()的斜率关系,则可设直线方程为
③联：联立直线和曲线方程，得到开如：
方程两边同时除以x2，得到形如
④换：令k=，得到，则k1和k2是该方程的两根
⑤达：韦达定理得到k1+k2和k1k2，从而得到m和n的关系
4.优点：相比传统的韦达定理，计算量大大减少，缺点：mx+ny=1不能表示经过原点的直线
常见三种类型：①为定值(不为0) ② 为定值(不为0) ③
对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为.
若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有.（当斜率均存在时）