浙江省宁波市2025学年六校联盟高二下学期期中联考数学试题（含答案）

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13.112 14.
15．（1）依题意可得(0.05 + 0.075 + a + 0.15 + 0.1) × 2 = 1，解得a = 0.125；
………………3分
（2）由（1）可得高度在[19,21)的频率为0.125 × 2 = 0.25 ………………5 分
X ∼ B(4,0.25)，
所以P = C
P (X = 2) = CEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 3(2),4) × 2 × 2 = ，P (X = 3) = CEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 3(3),4) × 3 × 1 = ， P (X = 4) = CEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 3(4),4) × 4 = ，
所以X的分布列为：
………………11 分
（分布列所有可能写出给 1 分，5 个概率一个一分）所以E ………………13 分
16．（1）任取x1 ，x2 ∈ [0, +∞)，设x1 < x2，
f __ f ………………2 分
= 2x2 __ 2x ………………4 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
C
B
B
D
B
题号
9
10
11
答案
ACD
BD
BCD
X
0
1
2
3
4
P
81
256
27
64
27
128
3
64
1
256
又2x2 __ 2x1 > 0 ，1 ≤ 2x1 < 2x2，所以1 __ > 0 ， ………………6 分
故f(x2) __ f(x1) > 0，即f(x2) > f (x1)，
函数f(x)在[0, +∞)上是增函数， ………………7 分
（2）因为f(__x) = f (x)
所以f(x)为偶函数， ………………9 分
则由f(2x) > f (x + 1)，可得|2x| > |x + 1| ， ………………11 分即(2x)2 > (x + 1)2，即(3x + 1)(x __ 1) > 0 ， ………………13 分解得 U (1, +∞). ………………15 分 = sin cs ………………3 分

sin2x sin2x cs2x sin ………………6 分x ∈ [__ , 时，2x + ∈ [__ , ，故 sin (2x + ∈ [__ , ．
即f(x)在[__ , 上的值域为[__ , ． ………………8 分
（3）将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），
得到函数g(x) = sin × 2x + = sin (x + ， ………………10 分则g(x) ≥ a __ sin (x + __ ，化简得a ≤ (sin (x + + min ………………13 分则a ≤ 1，所以a的最大值为 1. ………………15 分
18．（1）根据题意可得恰有 0 个黑球的概率为1 __ pn __ qn，根据古典概型可得p
所以p ………………3 分
（2）由题意得，
………………6 分进一步整理可以得到下式：
又p
故可以确定是以首项为__ ，公比为__ 的等比数列，所以pn
pn ………………10 分
（3）由题意可得
qn pn qn pn qn__1① , ………………12 分
………………14 分
因为2q1 + p1 __ 1 = 0，所以2qn + pn __ 1 = 0. ………………16 分
所以qn xn 的概率分布列为：
所以xn 的数学期望E(xn)为定值 1. ………………17 分19．（1）当a = __1时，f (x) = x 2 + x|x + 2|，
当x ≥ __2时，f = 2x2 + 2x = 2
当x = __ 时，f (x)取得最小值，f min = f
当x < __2时，f (x) = __2x在x < __2上单调递减，则f(x) > f (__2) = 4，
综上：f (x)的最小值为__ ………………3 分
当a = 0时，当__1 ≤ x < 0时，f (x) = 0，不是严格增函数，不合题意，舍去；
………………4 分
xn
0
1
2
p
1 __ pn
1 __ pn __ 2
pn
1 __ pn
2
当a > 0时，此时对称轴 ≤ 2a，且分段函数在x = 2a处函数值相同，故满足f(x)在[__1,1]上为严格增函数，符合题意；
………………5 分当__2 < a < 0时，此时对称轴 > 2a且 > __1，故在区间[__1, 上f(x) = 2x2 __ 2ax单调
递减，不合题意，舍去；
………………6 分
当a ≤ __2时， > 2a且 ≤ __1，此时f(x) = 2x2 __ 2ax在[__1,1]上为严格增函数，符合要求.
………………7 分综上：实数 a 的取值范围为(__∞, __2] ∪ (0, +∞).
………………9 分
（3）当a ∈ (__∞, __4]时，f = {2xa ，即f(x)在(__∞, 2a)上单调递减，在[2a, 上单调递减，在 , +∞)上单调递增，且端点处函数值相等，
令2x2 __ 2ax = 4a2 ，解得：x1 = 2a ，x2 = __a，
故要想存在两个不相等的实数x1, x2 (x1 < x2, x2 ≠ 0)使得f(x1) = f (x2)，则x1 < ，x2 > ,且当x1 ∈ [2a, a) ∪ (a, 时，x2 ∈ , 0) ∪ (0, __a] ，x1 + x2 = a，
此时 a __ x x2 + a __ 1，
当x2 ∈ , 0)时，y = __ x2 + a __ 1在 , __√__a)单调递减，在(__√__a, 0)单调递增，故y x2 + a __ 1在x处取得最小值， 为2√__a + a __ 1，故取值范围为
[2√__a + a __ 1, +∞)，
当x2 ∈ (0, __a]时，y x2 + a __ 1在(0, √__a)单调递增，在(√__a, __a]上单调递减，故
在x2 = √__a取得最大值，为__2√__a + a __ 1，故取值范围是(__∞, __2√__a + a __ 1]，
当x1 ∈ (__∞, 2a)时，x2 ∈ (__a, +∞)，此时2ax1 = 2xEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 3(2),2) __ 2ax2，即x x2，从而 +
其中，当a ∈ (__∞, __4]时 a __ 1 __
0，
综上： + x1 的取值范围为(__∞, 2a __ 2) U [2√__a + a __ 1, +∞).
………………17 分