浙江省宁波市2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份浙江省宁波市2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
3 7
12. 1 13. 14.
4 27
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1） 由图象可知A = 2 ，T = 2π __ π = π , 惠周期T = π , 2 3 6 2
惠 2π = π , 惠 ⑴ = 2 ，惠 f(x) = 2sin(2x + φ). 3 分
⑴
将( , 2)代入f(x)的解析式得，2 = 2sin 惠 2 x k ∈ Z，惠 k ∈ Z ，又丫
惠 f = 2sin 分 = 2sin 分
当x ∈ [0, ]时，x + ∈ [ ， ] ，惠 sin(x + ) ∈ [ ，1]
惠当x 即x = 0 时，g(x)min = 1，
当x 即x 时，，g(x)min = 2. 分
16. （1）二项式系数之和为2n ， 令x = 1 ，得所有项的系数之和为4n，
由题意得 ，惠 2n = 64 ，惠 n = 6. 分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
A
D
B
C
A
9
10
11
ACD
BD
ABC
（2）展开式通项为Tr+1 = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 2(r),6)(3x)6__r(x__r = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 2(r),6)36__rx6__r ， r = 0, 1,2 ，... ，6
当 6 __ 3 r为整数时，r = 0 ，2 ，4 ，6. 9 分
2
r = 0 时，T1 = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 3(0),6)36 = 729x6 ；r = 2 时，T3 = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 3(2),6)34x3 = 1215x3；
r = 4 时，T5 = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 3(4),6)32 = 135；r = 6 时，T7 = cEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 3(0),6)x__3 = x__3 .
惠展开式中的有理项为 729x6 ，1215x3 ，135 ，x__3 . 15 分
17.（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2 个红球和 1 个白球，选择方案一若消费金额打八折，则需摸出 1 个红球和 2 个黑球，
设甲顾客享受到免单优惠为事件A ，则P 设乙顾客消费金额打八折为事件B ，则P 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为
P = P . 分
（2）若选择方案一，设实际付款金额为X ，则X的可能取值为 0 ，400 ，640 ，800.
所以E(X) = 0 × + 400 × + 640 × + 800 × = （元）. 10 分若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z = 800 __ 100Y.
由题意知，Y~B(3 ， ) ，故E
所以E = E = 800 __ 100E
因为E(X) > E(Z) ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 15 分
18.（1） 由正弦定理知sinB( 3sinA + COsA) = sinc，
惠 3sinAsinB + COsAsinB = sin(A + B) = sinACOsB + COsAsinB，
惠 3sinAsinB = sinACOsB ，丫 sinA ≠ 0 ，惠 3sinB = COsB ， 6 分
惠 tanB 又丫 0 < B < π , 惠 B 分
（2） 由（1）知A + c = ，惠 COs(A + c) =__ ，惠 COsACOsc __ sinAsinc =__ ，
丫 COsACOsc 惠 sinAsinc 11 分
惠 惠 aC
惠 S aCsinB 17 分
19.（1）两款机器人共进行 5 局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值X可能的取值有1, 3, 5 ，则P = C
P = C
X 的分布列为
数学期望E 分 （2）在前 2n - 1 局比赛中星锐赢的局数k = n - 2 时，第 2n ，2n + 1 局全胜，最终也无法获胜，所以P(B|An-2) = 0；
当k = n - 1 时，仅当第 2n ，2n + 1 局全胜，最终才能赢得比赛，即P 当k = n时，第 2n ，2n + 1 局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即P 当k = n + 1 时，无论第 2n ，2n + 1 局什么结果，都能最终赢得比赛，即P(B|An+1) = 1；
综上所述，P(B|An-2) = 0 ，P(B|An-1) = ，P(B|An) = ，P(B|An+1) = 1 11 分（3） 由全概率公式可知
Pn+1 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n-),2n) -11pn-1 (1- p)n p2 + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p)n-1 1- (1- p)2 + Pn -CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p)n-1
= Pn + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n-),2n) -11pn-1 (1- p )n p2 - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p )n-1 (1- p )2
= Pn + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn+1 (1- p )n - CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p )n+1
= Pn + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p )n (2p -1)
所以Pn+1 - Pn = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(n),2)n-1pn (1- p )n (2p -1) ，
X
1
3
5
P
40
81
10
27
11
81
1
当 < p < 1 时， Pn+1 _ Pn > 0 ， 2
又因为
因为Pn+1 _ Pn > 0 ，所以Pn+2 _ Pn+1 < Pn+1 _ Pn ，即Pn + Pn +2 < 2Pn +1 . 17 分