2026年高考数学一轮专题训练：平面向量及其应用 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：平面向量及其应用 [含答案]，共12页。试卷主要包含了向量a→=在b→=上的投影为等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•青白江区校级期末）已知向量a→，b→，AB→=3a→+2b→，BC→=4a→−b→，CD→=5a→+7b→，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．A，C，DD．B，C，D
2．（2025春•丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6，a＝2，b=2，则A＝（ ）
A．π3B．π4C．π4或3π4D．π3或2π3
3．（2025春•丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若a=1，C=π3，且2S＝csB+bcsA，则B＝（ ）
A．π6B．π3C．π2D．7π12
4．（2025春•嘉定区校级期末）向量a→=(1，−1)在b→=(1，2)上的投影为（ ）
A．−55b→B．−15b→C．−55D．−15
5．（2025春•浙江期末）已知向量a→，b→，c→，满足|a→−b→|=2，a→⋅b→=1，则|a→+b→|=（ ）
A．2B．6C．22D．6
6．（2025春•安徽期末）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2m），c→=（2，﹣1），（2a→+b→）∥c→，则实数m＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
7．（2025春•红桥区校级月考）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，y)，若a→∥b→，则y的值为（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
8．（2025•鞍山模拟）已知向量a→=（1，2），b→=（1，0），c→=（0，1），若a→⊥（b→+λc→），则λ＝（ ）
A．−12B．12C．﹣2D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•庐江县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．已知a→=(1，−3)，b→=(2，−6)，则{a→，b→}可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知a→=(1，−3)，b→=(0，1)，则a→在b→上的投影向量的坐标是（0，﹣3）
C．若两非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⊥b→
D．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形
（多选）10．（2025春•丹阳市期末）下列选项中正确的是（ ）
A．若向量a→，b→，c→，满足a→⋅c→=b→⋅c→且c→≠0→，则a→=b→
B．若点G为△ABC中线的交点，则GA→+GB→+GC→=0→
C．已知非零向量a→，b→，若|a→+b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→同向且共线
D．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞)
（多选）11．（2025春•南京校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量的坐标为(−55，255)
B．a→，b→为非零向量，则向量a→在向量b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|2
C．a→，b→，c→为非零向量，且相互不共线，则(a→⋅b→)c→−(c→⋅a→)b→=0→
D．若a→=(2，3)与b→=(x，−6)共线，则x＝﹣4
（多选）12．（2025春•南阳期末）已知向量a→=(1，3)，b→=(3，−1)，下列命题中正确的有（ ）
A．a→=10B．a→∥b→C．a→⊥b→D．|a→+b→|=|a→|+|b→|
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•嘉定区校级期末）设向量a→.b→满足|a→|=6，|b→|=4且a→⋅b→=−12，则向量a→在向量b→方向上的投影数量是 ．
14．（2025春•云南期末）已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|=102，则a→⋅b→= ，|a→−b→|= ．
15．（2025春•杨浦区校级期末）已知向量a→=(1，−3)，b→=(2，1)，则a→在b→上的投影向量为 ．（用坐标形式表示）
16．（2025春•浦东新区校级期末）若向量a→=(−1，2)，b→=(2，3)，则a→在b→方向上的投影向量的坐标为
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•广西期末）已知向量a→=（2，5），b→=（1，x）．
（1）若x＝2，求（a→−b→）•b→的值；
（2）若a→，b→的夹角为锐角，求x的取值范围．
18．（2025春•重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量OA→=(1，0)，OB→=(1，1)，OC→=(−1，0)．
（1）求满足OC→=λOA→+μOB→的λ和μ的值；
（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足|BP→|=12|PC→|，求点P的坐标．
19．（2025春•新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
（1）若AP→⋅AC→=8，求AP的长；
（2）设|AB→|=6，|AC→|=8，∠BAC=π3，AP→=xAB→+yAC→，
①用向量AB→，AC→表示向量BD→；
②求y﹣x的值．
20．（2025春•嘉定区校级期末）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，0)．
（1）求a→，b→的夹角〈a→，b→〉；
（2）若(3a→−2b→)⊥(ka→+b→)，求实数k的值．
高考数学一轮复习 平面向量及其应用
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•青白江区校级期末）已知向量a→，b→，AB→=3a→+2b→，BC→=4a→−b→，CD→=5a→+7b→，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．A，C，DD．B，C，D
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可．
解：BC→=4a→−b→，CD→=5a→+7b→，
则BD→=BC→+CD→=9a→+6b→=3AB→，故A，B，D三点共线，A对；
因为AB→=3a→+2b→，BC→=4a→−b→，故AB→，BC→不一定共线，B错；
因为AC→=AB→+BC→=7a→+b→，CD→=5a→+7b→，所以AC→，CD→不一定共线，C错；
因为BC→=4a→−b→，CD→=5a→+7b→，则BC→，CD→不一定共线，D错．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的共线定理，属于基础题．
2．（2025春•丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6，a＝2，b=2，则A＝（ ）
A．π3B．π4C．π4或3π4D．π3或2π3
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【正确答案】C
【分析】应用正弦定理求角的大小即可．
解：因为B=π6，a＝2，b=2，
所以由正弦定理asinA=bsinB，得2sinA=212，
所以sinA=22，
又因为a＞b，所以π6=B＜A＜5π6，
所以A=π4或3π4．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
3．（2025春•丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若a=1，C=π3，且2S＝csB+bcsA，则B＝（ ）
A．π6B．π3C．π2D．7π12
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【正确答案】C
【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果．
解：因为a＝1，C=π3，且2S＝csB+bcsA＝acsB+bcsA，
即absinC＝acsB+bcsA，
由正弦定理得：asinB×sinC＝sinAcsB+sinBcsA＝sin（A+B），
又因为三角形中sinC＝sin（A+B），sinC≠0，
asinB=1⇒sinB=1a=1，
因为B∈（0，π），所以B=π2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
4．（2025春•嘉定区校级期末）向量a→=(1，−1)在b→=(1，2)上的投影为（ ）
A．−55b→B．−15b→C．−55D．−15
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得a→⋅b→=−1，|b→|2=5，再利用投影的定义，即可求解．
解：因为a→=(1，−1)，b→=(1，2)，
所以a→⋅b→=1−2=−1，|b→|2=5，
所以向量a→在b→上的投影为a→⋅b→|b→|=−15．
故选：D．
【点评】本题考查投影的求法，向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2025春•浙江期末）已知向量a→，b→，c→，满足|a→−b→|=2，a→⋅b→=1，则|a→+b→|=（ ）
A．2B．6C．22D．6
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】将|a→−b→|=2两边同时平方可得a→2+b→2=6，求得|a→+b→|2的值即可求解．
解：∵|a→−b→|＝2，∴|a→−b→|2=a→2−2a→•b→+b→2=4，
∵a→•b→=1，∴a→2+b→2=6，
∴|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=8，即|a→+b→|=22．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
6．（2025春•安徽期末）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2m），c→=（2，﹣1），（2a→+b→）∥c→，则实数m＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
解：向量a→=（﹣2，2），b→=（m+1，2m），则2a→+b→=(−3+m，4+2m)，
c→=（2，﹣1），（2a→+b→）∥c→，
则2（4+2m）＝﹣（﹣3+m），解得m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题．
7．（2025春•红桥区校级月考）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，y)，若a→∥b→，则y的值为（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可．
解：向量a→=(1，2)，b→=(−1，y)，a→∥b→，
则1×y＝2×（﹣1），解得y＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．
8．（2025•鞍山模拟）已知向量a→=（1，2），b→=（1，0），c→=（0，1），若a→⊥（b→+λc→），则λ＝（ ）
A．−12B．12C．﹣2D．2
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解．
解：由b→=(1，0)，c→=(0，1)，
得b→+λc→=(1，λ)，由a→⊥(b→+λc→)，
所以a→⋅(b→+λc→)=1+2λ=0，λ=−12．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•庐江县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．已知a→=(1，−3)，b→=(2，−6)，则{a→，b→}可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知a→=(1，−3)，b→=(0，1)，则a→在b→上的投影向量的坐标是（0，﹣3）
C．若两非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⊥b→
D．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形
【考点】平面向量的投影向量；平面向量的基本定理；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由|a→+b→|=|a→−b→|，同时平方可得a→⋅b→=0，故可判断C正确；由A（1，1），B（3，2），C（4，0）可得BA→=(−2，−1)，BC→=(1，−2)，进而可得BA→⋅BC→=0，即∠B=π2，故D错误．
解：因为b→=2a→，所以a→与b→不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误；
a→=(1，−3)，b→=(0，1)，
则a→在b→上的投影向量的坐标为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=−31⋅(0，1)=(0，−3)，故B正确；
对于C，因为|a→+b→|=|a→−b→|，所以|a→+b→|2=|a→−b→|2，化简得a→⋅b→=0，又a→，b→是非零向量，所以a→⊥b→，故C正确；
对于D，因为A（1，1），B（3，2），C（4，0），所以BA→=(−2，−1)，BC→=(1，−2)，
所以BA→⋅BC→=(−2)×1+(−1)×(−2)=0，所以∠B=π2，所以△ABC不是锐角三角形，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）10．（2025春•丹阳市期末）下列选项中正确的是（ ）
A．若向量a→，b→，c→，满足a→⋅c→=b→⋅c→且c→≠0→，则a→=b→
B．若点G为△ABC中线的交点，则GA→+GB→+GC→=0→
C．已知非零向量a→，b→，若|a→+b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→同向且共线
D．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞)
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用重心的性质即可得到结果；对于C：利用向量共线的充要条件即可得到；对于D：利用夹角为锐角排除夹角为0的情况即可．
解：对于选项A：当向量a→，b→都与c→垂直时，满足a→⋅c→=b→⋅c→，但a→与b→不一定相等，故A错误；
对于选项B：若点G为△ABC中线的交点，则点G为△ABC的重心，
延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点，所以AG→=2GM→=2×12×(GB→+GC→)=GB→+GC→，
因为AG→=−GA→，所以得到GA→+GB→+GC→=0→，故B正确；
对于选项C：设a→与b→的夹角为θ，因为|a→+b→|=|a→|+|b→|，两边同时平方得：
a→2+b→2+2a→⋅b→=|a→|2+|b→|2+2|a→|×|b→|，
所以2a→⋅b→=2|a→||b→|，⇒2|a→||b→|csθ=2|a→||b→|，⇒csθ=1，所以a→与b→同向且共线，故C正确；
对于选项D：因为向量a→=(1，2)，b→=(1，1)，得 a→+λb→=(1+λ，2+λ)，a→与a→+λb→的夹角为锐角，
所以1×(1+λ)+2×(2+λ)＞01×(2+λ)≠2×(1+λ)，解得：λ＞−53且λ≠0，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查向量的基本概念，向量的线性运算，数量积的坐标运算，属于基础题．
（多选）11．（2025春•南京校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量的坐标为(−55，255)
B．a→，b→为非零向量，则向量a→在向量b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|2
C．a→，b→，c→为非零向量，且相互不共线，则(a→⋅b→)c→−(c→⋅a→)b→=0→
D．若a→=(2，3)与b→=(x，−6)共线，则x＝﹣4
【考点】平面向量的相等与共线；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】AD
【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误．
解：与向量a→=(−1，2)方向相同的单位向量为1|a→|a→=11+4(−1，2)=(−55，255)，故A正确；
向量a→在向量b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|2b→，故B错误；
向量不满足交换律，故C错误；
由a→=(2，3)与b→=(x，−6)共线，则2=λx3=−6λ，解得x＝﹣4，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量坐标的运算，属于基础题．
（多选）12．（2025春•南阳期末）已知向量a→=(1，3)，b→=(3，−1)，下列命题中正确的有（ ）
A．a→=10B．a→∥b→C．a→⊥b→D．|a→+b→|=|a→|+|b→|
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果．
解：对于A，向量a→=(1，3)，a→=32+1=10，故A正确；
对于B，a→=(1，3)，b→=(3，−1)，
因为1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，故B错误；
对于C，a→=(1，3)，b→=(3，−1)，
因为a→⋅b→=1×3+3⋅(−1)=0，所以a→⊥b→，故C正确；
对于D，a→+b→=(4，2)，|a→+b→|=42+22=25，
|a→|=10，|b→|=10，|a→+b→|≠|a→|+|b→|，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•嘉定区校级期末）设向量a→.b→满足|a→|=6，|b→|=4且a→⋅b→=−12，则向量a→在向量b→方向上的投影数量是 ﹣3 ．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】﹣3
【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解．
解：|a→|=6，|b→|=4，且a→⋅b→=−12，
故向量a→在向量b→方向上的投影数量a→⋅b→|b→|=−124=−3．
故﹣3．
【点评】本题主要考查向量投影的计算公式，属于基础题．
14．（2025春•云南期末）已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|=102，则a→⋅b→= 14 ，|a→−b→|= 62 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】14；62．
【分析】根据单位向量的定义及数量积公式求出a→⋅b→，再根据公式模长公式计算即可．
解：∵|a→|＝|b→|＝1，|a→+b→|=102，
∴a→2+2a→•b→+b→2=104，解得a→•b→=14，
∴(a→−b→)2=a→2−2a→•b→+b→2=1﹣2×14+1=32，
∴|a→−b→|=32=62．
故14；62．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
15．（2025春•杨浦区校级期末）已知向量a→=(1，−3)，b→=(2，1)，则a→在b→上的投影向量为 （−25，−15） ．（用坐标形式表示）
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】(−25，−15)．
【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量．
解：由已知得，a→在b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=2−35×b→5=−15⋅(2，1)=(−25，−15)．
故(−25，−15)．
【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
16．（2025春•浦东新区校级期末）若向量a→=(−1，2)，b→=(2，3)，则a→在b→方向上的投影向量的坐标为 (813，613)
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】(813，613)．
【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案．
解：因为a→=(−1，2)，b→=(2，3)，
所以|b→|=4+9=13，a→⋅b→=−2+6=4，
所欲a→在b→方向上的投影向量的坐标为a→⋅b→|b→|2b→=413b→=(813，613)．
故(813，613)．
【点评】本题考查投影向量的求解，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•广西期末）已知向量a→=（2，5），b→=（1，x）．
（1）若x＝2，求（a→−b→）•b→的值；
（2）若a→，b→的夹角为锐角，求x的取值范围．
【考点】平面向量数量积的坐标运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）7；
（2）(−25，52)∪(52，+∞)．
【分析】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可；
（2）由a→，b→的夹角为锐角，则a→⋅b→＞0，且a→，b→不共线，建立不等式组求解即可．
解：因为a→=（2，5），b→=（1，x），
（1）若x＝2，则b→=(1，2)，a→=(2，5)，所以a→−b→=(1，3)
所以(a→−b→)⋅b→=1×1+2×3=7．
（2）向量a→=(2，5)，b→=(1，x)，
若a→，b→的夹角为锐角，则a→⋅b→＞0且a→，b→不共线，
故2+5x＞02x−5≠0，所以x的取值范围为(−25，52)∪(52，+∞)．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
18．（2025春•重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量OA→=(1，0)，OB→=(1，1)，OC→=(−1，0)．
（1）求满足OC→=λOA→+μOB→的λ和μ的值；
（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足|BP→|=12|PC→|，求点P的坐标．
【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算；平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）λ＝﹣1，μ＝0；
（2）(13，23)或（3，2）．
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，列式求解．
（2）求出CB→，CP→的坐标，利用共线向量定理及向量模的关系求解．
解：（1）由OA→=(1，0)，OB→=(1，1)，得λOA→+μOB→=(λ+μ，μ)，而OC→=(−1，0)，
又OC→=λOA→+μOB→，则λ+μ=−1μ=0，所以λ＝﹣1，μ＝0．
（2）OB→=(1，1)，OC→=(−1，0)．P（x，y）
则CB→=(2，1)，CP→=(x+1，y)，
由点P（x，y）在直线BC上，设CP→=λCB→=(2λ，λ)，BP→=CP→−CB→=(2λ−2，λ−1)，
由|BP→|=12|PC→|，得(2λ−2)2+(λ−1)2=12(2λ)2+λ2，整理得2|λ﹣1|＝|λ|，
解得λ=23或λ＝2，而x+1=2λy=λ，当λ=23时，x=13y=23；当λ＝2时，x=3y=2，
所以点P的坐标为(13，23)或（3，2）．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
19．（2025春•新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
（1）若AP→⋅AC→=8，求AP的长；
（2）设|AB→|=6，|AC→|=8，∠BAC=π3，AP→=xAB→+yAC→，
①用向量AB→，AC→表示向量BD→；
②求y﹣x的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；用平面向量的基底表示平面向量；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）2；
（2）BD→=AC→−2AB→，27．
【分析】（1）利用线性运算将AC→转化为2(AP→+PO→)，然后根据AP→⋅AC→=8和AP→⋅PO→=0得到|AP→|2=4，然后求AP即可；
（2）①根据向量的减法结合线性关系计算即可；
②根据B，P，O三点共线得到x+2y＝1，根据数量积公式得到AB→⋅AO→=12，2yAO→2−xAB→2+(x−2y)AB→⋅AO→=0，即可得到y＝3x，然后解方程即可．
解：（1）根据题意，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，
则AP→⋅AC→=AP→⋅2AO→=2AP→⋅(AP→+PO→)=2AP→⋅AP→+0=8，
则(AP→)2=|AP→|2=4，变形可得|AP→|=2，
故AP长为2．
（2）①根据题意，BD→=AD→−AB→=BC→−AB→=AC→−AB→−AB→=AC→−2AB→，
②根据题意，AP→=xAB→+yAC→，而O为AC的中点，则AP→=xAB→+yAC→=xAB→+2yAO→，
又由B，P，O三点共线，必有x+2y＝1，
又|AB→|=6，|AC→|=8，∠BAC=π3，
则AB→⋅AO→=|AB→|⋅12|AC→|cs∠BAC=12，
由AP⊥BD，则AP→⋅BO→=(xAB→+2yAO→)⋅(AO→−AB→)=0，
展开2yAO→2−xAB→2+(x−2y)AB→⋅AO→=0，
变形可得：y＝3x，
又由x+2y＝1，解可得：x=17，y=37，
故y﹣x=37−17=27．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
20．（2025春•嘉定区校级期末）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，0)．
（1）求a→，b→的夹角〈a→，b→〉；
（2）若(3a→−2b→)⊥(ka→+b→)，求实数k的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）〈a→，b→〉=π﹣arccs55；
（2）k=517．
【分析】（1）根据题意，由向量a→、b→的坐标可得|a→|、|b→|和a→•b→的值，结合向量夹角公式计算可得答案；
（2）求出（3a→−2b→）、（ka→+b→）的坐标，由向量数量积的计算公式可得（3a→−2b→）•（ka→+b→）＝0，解可得k的值，即可得答案．
解：（1）根据题意，向量a→=(1，2)，b→=(−1，0)．
则|a→|=5，|b→|＝1，a→•b→=−1，
则cs〈a→，b→〉=a→⋅b→|a→||b→|=−15=−55，
又由0≤〈a→，b→〉≤π，则〈a→，b→〉=π﹣arccs55；
（2）根据题意，3a→−2b→=（5，6），ka→+b→=（k﹣1，2k），
若(3a→−2b→)⊥(ka→+b→)，则有（3a→−2b→）•（ka→+b→）＝5（k﹣1）+12k＝0，
解可得：k=517．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算以及向量垂直的判断方法，属于基础题．