2022届高考数学二轮专题测练-空间直角坐标系

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-空间直角坐标系，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 在空间直角坐标系 O−xyz 中，点 A−2,4,3 关于坐标平面 yOz 对称的点是
A. 2,4,3B. 2,−4,3
C. −2,−4,3D. −2,4,−3

2. 点 A−1,2,1 在 xOy 平面上的射影点的坐标是
A. −1,2,0B. −1,−2,0
C. −1,0,0D. 1,−2,0

3. 已知 A1,1,0 ， B−1,2,1 ，则 A 、 B 两点间距离是
A. 6B. 5C. 6D. 5

4. 点 P1,2,−3 关于原点的对称点的坐标是
A. −1,−2,3B. −1,2,3
C. 3,2,−1D. −2,1,3

5. 空间中过点 A−2,1,3 ，且与 xOy 坐标平面垂直的直线上的点的坐标满足
A. x=−2B. y=1
C. x=−2 或 y=1D. x=−2 且 y=1

6. 在坐标平面 xOy 上，到点 A3,2,5，B3,5,1 距离相等的点有
A. 1 个B. 2 个C. 0 个D. 无数个

7. 已知点 A1,−2,11，B4,2,3，C6,−1,4，则 △ABC 为
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形

8. 设 y∈R，则点 P1,y,2 的集合为
A. 垂直于 xOz 平面的一条直线B. 平行于 xOz 平面的一条直线
C. 垂直于 y 轴的一个平面D. 平行于 y 轴的一个平面

9. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是
A. 62B. 3C. 32D. 63

10. △ABC 的顶点坐标是 A3,1,1，B−5,2,1，C−83,2,3，则它在 yOz 平面上射影图形的面积是
A. 4B. 3C. 2D. 1

11. 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 P 与 A1,1,1 之间的距离等于 3 ，则这样的点 P 共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

12. 一束光线自点 P1,1,1 发出，被 xOy 平面反射到达点 Q3,3,6 被吸收，那么光所走的距离是
A. 37B. 47C. 33D. 57

13. 在空间直角坐标系中，给定点 M2,−1,3，若点 A 与点 M 关于平面 xOy 对称，点 B 与点 M 关于 x 轴对称，则 ∣AB∣=
A. 2B. 4C. 25D. 37

14. 在空间直角坐标系中，已知点 P1,2,3 ，过 P 作平面 yOz 的垂线 PQ ，则垂足 Q 的坐标为
A. 0,2,0B. 0,2,3C. 1,0,3D. 1,3,0

15. 已知点 A−3,1,−4 ，则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为
A. −3,−1,4B. −3,−1,−4
C. 3,1,4D. 3,−1,−4

16. 已知点 P−1,3,−4 ，且该点在三个坐标平面 yOz 平面、 zOx 平面、 xOy 平面上的射影的坐标依次为 x1,y1,z1 、 x2,y2,z2 、 x3,y3,z3 ，则
A. x1+y2+z3=0B. x2+y3+z1=0
C. x3+y1+z2=0D. 以上结论都不对

17. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于
A. 34B. 23C. 12D. 13

18. 已知 A3,0,−1，B0,−2,−6，C2,4,−2，则 △ABC 是
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 以上都不对

19. 正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE=12，BF=14．动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为
A. 3B. 4C. 6D. 8

20. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM=13，点 P 是平面 ABCD 上的动点，且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点 P 的轨迹是
A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图所示的是水平放置的三角形 ABC 在直角坐标系中的直观图，其中 D′ 是 A′C′ 的中点，且 ∠A′C′B′≠30∘，则原图形中与线段 BD 的长相等的线段有 条．

22. 点 Pa,b,c 关于 z 轴的对称点为 P1，点 P1 关于平面 xOy 的对称点为 P2，则 P2 的坐标为 ．

23. 若点 Px,y,z 到 A1,0,1，B2,1,0 两点的距离相等，则 x，y，z 满足的关系式是 ，猜想它表示的图形是 ．

24. 已知 A1−t,1−t,t，B2,t,t，则 AB 的最小值为 ．

25. 已知 ABCD 为平行四边形，且 A4,1,3，B2,−5,1，C3,7,−5，则顶点 D 的坐标为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在平行四边形 ABCD 中， A0,2,3 ， B−2,1,6 ， C1,−1,5 ，求顶点 D 的坐标．

27. 已知空间三点 A1,2,3，B2,−1,5，C3,2,−5，按已知条件求点 D 的坐标，使四边形 ABDC 是平行四边形．

28. 如图所示，已知正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱长为 a，M 为 BDʹ 的中点，点 N 在 AʹCʹ 上，且 AʹN=3NCʹ，试求 MN 得长．

29. 如图所示，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 O−xyz，点 P 在正方体的体对角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上．
（1）当点 P 为体对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究 ∣PQ∣ 的最小值．
（2）当点 P 在体对角线 AB 上运动，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究 ∣PQ∣ 的最小值．
由以上问题，你得到了什么结论，你能证明你的结论吗?

30. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 为面 A1B1C1D1 的中心，求证：AP⊥B1P．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. C
4. A
5. D
6. D
7. C【解析】由空间两点间的距离公式得
AB=1−42+−2−22+11−32=89，
AC=1−62+−2−−12+11−42=75，
BC=4−62+2−−12+3−42=14．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC 为直角三角形．
8. A
9. A【解析】设点的坐标为 x,y,z，由题意知，y2+z2=1，x2+z2=1，x2+y2=1，所以该点到原点的距离为 x2+y2+z2=32=62．
10. D
【解析】△ABC 的顶点在 yOz 平面上的射影点的坐标分别为 Aʹ0,1,1，Bʹ0,2,1，Cʹ0,2,3，△ABC 在 yOz 平面上的射影是一个直角三角形 AʹBʹCʹ，容易求出它的面积为 1．
11. D
12. D【解析】Q3,3,6 关于 xOy 平面的对称点为 Qʹ3,3,−6，所以光所走的距离是 3−12+3−12+−6−12=57．
13. A【解析】提示：A2,−1,−3，B2,1,−3，∣AB∣=2．
14. B
15. A
16. A
17. D
18. C【解析】因为 AB=−3,−2,−5，AC=−1,4,−1，AB⋅AC=0，所以 △ABC 是直角三角形．
19. C
20. B
【解析】以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系，设 Px,y,0，M1,13,0，则 ∣PM∣=x−12+y−132+0−02，点 P 到直线 A1D1 的距离设为 d，则 d=y2+1，根据题意有 d2−∣PM∣2=1，整理得 x−12=23y−19，所以点 P 的轨迹是抛物线．
第二部分
21. 2
【解析】△ABC 为直角三角形，由 D 为 AC 中点，所以 BD=AD=CD．
所以与 BD 的长相等的线段有两条．
22. −a,−b,−c
23. 2x+2y−2z−3=0，线段AB的中垂面
【解析】由两点间距离公式得 x−12+y2+z−12=x−22+y−12+z2，化简得 2x+2y−2z−3=0，由几何图形的性质知这个方程表示线段 AB 的中垂面．
24. 355
【解析】AB=1−t−22+1−t−t2+t−t2=5t2−2t+2=5t−152+95≥355．
25. 5,13,−3
【解析】提示：AC 的中点坐标为 3+42,1+72,3−52．因为 AC 的中点同时为 BD 的中点，所以 D 的坐标为 3+42×2−2,1+72×2−−5,3−52×2−1，即 5,13,−3．
第三部分
26. 设点 D(x,y,z)． 根据题意得 AC 的中点为
E(12,12,4),
因为 E 也是 BD的中点，所以
x−22=12,y+12=12,z+62=4,
解得
x=3,y=0,z=2,
即顶点 D 的坐标为 3,0,2 ．
27. 4,−1,−3．
28. 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方体棱长为 a，所以 Ba,a,0，Aʹa,0,a，Cʹ0,a,a，Dʹ0,0,a．
由于 M 为 BDʹ 的中点，取 AʹCʹ 的中点 Oʹ，连接 MOʹ，所以 Ma2,a2,a2，Oʹa2,a2,a，
所以 Na4,3a4,a．
根据空间两点间的距离公式，可得 MN=a2−a42+a2−3a42+a2−a2=64a．
29. （1） 当点 P 为体对角线 AB 的中点时，点 P 的坐标是 a2,a2,a2．
因为点 Q 在线段 CD 上，设 Q0,a,z．
则 PQ=a2−02+a2−a2+a2−z2=a2−z2+12a2．
当 z=a2 时，PQ 的最小值为 22a，
即点 Q 为棱 CD 的中点时，PQ 有最小值 22a．
（2） 当点 P 在体对角线 AB 上运动，点 Q 在棱 CD 上运动时，∣PQ∣ 的最小值仍然是 22a．
证明：
如图所示，设 Px,y,z1．
由正方体的对称性，显然有 x=y．
设 P 在平面 OA 上的射影是 H．
在 △AOB 中，HPOB=HAOA，所以 z1a=2a−2x2a，即有 x=a−z1．
所以，点 P 的坐标是 a−z1,a−z1,z1．
由已知，可设 Q0,a,z2．
则PQ=a−z1−02+a−z1−a2+z1−z22=z2−z12+2z1−a22+a22.
当 z2=z1=a2 时，PQ 取得最小值，最小值是 22a．
30. 建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz．
设正方体棱长为 1，则 A1,0,0，B1,1,1，P12,12,1．
由空间两点间的距离公式得 AP=1−122+0−122+0−12=62，
B1P=1−122+1−122+1−12=22，
AB1=1−12+0−12+0−12=2，
所以 AP2+B1P2=AB12，所以 AP⊥B1P．