2026届高考数学一轮专题训练：数列 [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练：数列 [含答案]，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．等比数列中,,,则为( )
A.2B.4C.8D.16
2．已知等比数列中，，，则( )
A.15B.9C.-9D.
3．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为( )
A.81B.145C.256D.273
4．设是等比数列,且,,则( )
A.12B.24C.30D.32
5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为( )
A.22B.26C.35D.51
6．A同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第1天复习10首古诗词，从第2天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多2首，每首古诗词只复习一天，则10天后A同学复习的古诗词总数量为( )
A.190B.210C.240D.280
7．在等比数列中，，，则( )
A.16B.30C.34D.64
8．若一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．
10．已知等比数列的前n项和为,若,,则数列的公比可能是( )
A.B.C.D.
11．在数列中，，，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知：1,x,y,10构成等差数列,则x,y的值分别为____________.
13．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，，则________.
14．已知正项等比数列的前n项和为,公比为q,,则_____.
15．若等比数列的前n项和,则___________．
四、解答题
16．设等比数列:a,,,…,,b,,,…,,c的公比为q,其中s,t都为正奇数,a,b,c构成单调递增的正项等差数列.
（1）求证:;
（2）求证:;
（3）把用a,c,s,t表示.
17．在等比数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)若,数列的前n项和为,求使得的最小值.
18．将数列和的公共项从小到大排列得到数列,记的前n项和为．
(1)求的通项公式;
(2)求使得的n的最小值．
19．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
20．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若m为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
答案
1．答案：D
解析：设数列的公比为q,
依题意,解得,
.,
故选:D.
2．答案：B
解析：设等比数列的公比为，
则，
由等比中项的性质可得，
故.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为等比数列，，，
所以，，成等比数列，
因为，，所以，
所以，
所以.
故选：D
4．答案：D
解析：设等比数列的公比为q,则,
,
因此,.
故选:D.
5．答案：C
解析：如图，
1，5，12，22称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为4，7，10，13，
所以五边形数的第5项为，
故选：C.
6．答案：A
解析：由题知，A同学每天复习的古诗词数量构成首项为10，
公差为2的等差数列，
则10天后A同学复习的古诗词总数量为.
故选：A.
7．答案：A
解析：设等比数列的公比为q，
因为，，可得，解得，
所以，所以.
故选：A.
8．答案：D
解析：设这个等差数列为,则,
由题意可得,解得.
故选:D.
9．答案：BC
解析:由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对；
，，
代入C，D选项验证，C正确；
D选项右边，D错误.
故选：BC
10．答案：BC
解析：设数列的公比为q,
则,
所以,解得或,即或．
故选：BC．
11．答案：BD
解析：由得，当时，，，…，，，将各式相加得，则.当时，，满足上式，所以，当时，.故选BD.
12．答案：4,7
解析：由已知,x是1和y的等差中项,即,①
y是x和10的等差中项,即,②
由①②解得,.
故4,7.
13．答案：3
解析：因为，
所以，解得或.
因为正项等比数列的公比大于0，所以.
故3.
14．答案：1
解析：因为,所以,即,
因,则得,解得或,
因为,所以,所以不满足条件,
所以.
故答案为:1.
15．答案：
解析：等比数列的前n项和,则.
当且,.
适合,则,解得.
故答案为:.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）答案见解析
解析：（1）由题意知,又,可得,
所以,又是正偶数,所以.
（2）设等差数列a,b,c的公差为d,由题意得,,
又,,故,
可得,又,又,都为正偶数,
故,即,
又由（1）的结论得,,故有,即.
（3）设个数所构成的等比数列为,
则,,,
由,可得,
,
又,,由s,t都为正奇数,则q既可为正数,也可为负数.
若q为正数,则,插入的个数的乘积为;
若q为负数,,,…,中,,…,为负数,即共有个负数,
故,所插入的个数的乘积为,
综上所述,当q为正数时,为,
当q为负数时,为.
17．答案：(1)或;
(2)6.
解析：(1)设等比数列的公比为q,由,,得,解得或,
所以数列的通项公式为或.
(2)由(1)知,或,而,则,
于是,由,得,解得,又,因此,
所以使得的最小n值为6.
18．答案：(1)
(2)7
解析：(1)
,
所以公共项就是以为首项,2为公差的等差数列,
即;
(2)由(1)知,
由,得,
,即,
,故n的最小值为7．
19．答案：100
解析：被5除余2的数有两类：一类是个位数为2的数；另一类是个位数为7的数.
第一类：个位数为2的数，有50个.
第二类：个位数为7的数，有50个.
根据分类加法计数原理，共有满足条件的个数为.
20．答案：（1）
（2）2479
解析：（1）因为，，成等差数列，所以，
当时，，所以，
故，化简得：，
所以，故，
又的各项都为正数，所以，从而式①可化为，
故，所以是公差为1的等差数列，
因为，所以，故，
结合解得：，
所以.
（2）由（1）知，所以即为，
因为集合中的元素个数为，而关于n的不等式②有几个正整数解，该集合中就有几个元素，
所以的值即为不等式②的正整数解的个数，
当时，不等式②即为，
所以，无解，
从而集合中没有元素，故；
当时，不等式②即为，
所以，解得：，
从而集合中有1个元素，故；
当时，对任意的，
都有，
不等式②成立，对任意的，，
不等式②不成立，
所以不等式②的解为，2，…，，共有个解，
从而集合中有个元素，故；
综上所述，数列的前50项和为.