2026届高考数学一轮专题训练：等差数列 [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练：等差数列 [含答案]，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．记首项为1的等差数列的前n项和为,若,则( )
A.217B.247C.349D.409
2．已知等差数列的前n项和为,若,则数列的公差( )
A.3B.2C.D.4
3．若为等差数列的前n项和,,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4．A同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第1天复习10首古诗词，从第2天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多2首，每首古诗词只复习一天，则10天后A同学复习的古诗词总数量为( )
A.190B.210C.240D.280
5．设等差数列的前n项和为，若，，则的值为( )
A.6B.20C.25D.30
6．记正数a,b,c满足b为a和c的等差中项,设甲：a,b为整数；乙：c为整数,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．在等差数列中,,.则公差( )
A.B.C.10D.5
8．已知是公差为2的等差数列,且,,成等比数列,则等于( )
A.63B.72C.81D.90
二、多项选择题
9．已知数列是公比为q的等比数列，且,,成等差数列，则( )
A.B.C.-1D.1
10．已知，下列说法正确的是( )
A.若a，b，c三个数成等差数列，则
B.若a，b，c三个数成等差数列，则
C.若a，b，c三个数成等比数列，则
D.若a，b，c三个数成等比数列，则
11．已知等差数列的前n项和为,正项等比数列的前n项积为,则( )
A.数列是等差数列B.数列是等比数列
C.数列是等差数列D.数列是等比数列
三、填空题
12．已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则_________.
13．已知和分别是等差数列与等比数列的前n项和，且，，，则________.
14．已知数列为公差为1的等差数列,且、、依次成等比数列,则________.
15．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有n层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为_________.
四、解答题
16．已知在等差数列中,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列的前n项和,则当n为何值时取得最大,并求出此最大值.
17．等差数列的公差为d,数列的前n项和为．
(1)已知,,,求m及；
(2)已知,,,求d；
(3)已知,求.
18．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，的前n项和分别为，，若，求n的值.
19．已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列是等差数列:
②数列是等差数列;③.
20．已知与均为等差数列,且,．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案
1．答案：B
解析：由已知数列为等差数列,设其公差为d,
则,解得,
所以,,
则,
故选：B.
2．答案：B
解析：由题意得,,解得.
故选:B
3．答案：A
解析：由,得,
又,则,
所以公差,
故当时,,当时,,
所以当时,最小.
故选:A.
4．答案：A
解析：由题知，A同学每天复习的古诗词数量构成首项为10，
公差为2的等差数列，
则10天后A同学复习的古诗词总数量为.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为，
所以，解得，
则．
故选：D
6．答案：A
解析：由正数a,b,c满足b为a和c的等差中项,所以,
若a,b为整数,则为整数,故甲能推乙；
若c为整数,例,,符合b为a和c的等差中项,但b不是整数,故乙不能推甲,
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
7．答案：D
解析：公差．
故选：D.
8．答案：C
解析：由是公差为2的等差数列,且,,成等比数列,可得,
即,解得,代入,故.
故选:C.
9．答案：AD
解析:由题意，，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是0，故，
即，解得或.
故选：AD
10．答案：BC
解析：若a，b，c三个数成等差数列，
则，解得，故A错误，B正确；
若a，b，c三个数成等比数列，
则，解得，故C正确，D错误，
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：根据题意,设的公差为d,的公比为q,
则,
依次分析选项:
对于A,是常数,故A正确;
对于B,易知是常数,故B正确;
对于C,因为,由,
当,不是常数列,不是常数,故C错误;
对于D,是常数,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：由题意知等差数列的公差,,,构成等比数列，
则，即，
即得，则，故，
故
13．答案：9或18
解析：设等比数列的公比为q，
由，可得，即，
解得或；
当时，可得，又，所以；
此时；
当时，，可得，又，所以；
此时；
综上可得，或18.
故9或18
14．答案：5
解析：因为数列为公差为1的等差数列,由题意可得,即,
解得,故.
故答案为:5.
15．答案：42
解析：由题知，各层的小球个数构成数列，
且，，
因为，所以，
故
，
由题意，
即，解得或（舍去），
所以，故该垛积的第六层的小球个数为，
故42
16．答案：（1）;
（2）时取得最大值为36.
解析：（1）设等差数列的公差为d,则,
故,
所以.
（2）由,且,
所以,
故时取得最大,最大值为36.
17．答案：(1),
(2)
(3)
解析：(1)因为,
所以整理得,解得或（负值舍去）,
所以
(2)因为,所以,
又因为,所以
(3)方法一：由,即,
所以
方法二：由,得,
所以
18．答案：（1），;
（2）
解析：（1）由已知得，，
又，，则，
解得，
所以数列的通项公式，
又
数列的通项公式，
（2）由已知得：
由（1）可知
由，所以，解得
19．答案：证明过程见解析
解析：选①②作条件证明③:
[方法一]:待定系数法+与关系式
设,则,
当时,;
当时,;
因为也是等差数列,所以,解得;
所以,,故.
[方法二]:待定系数法
设等差数列的公差为d,等差数列的公差为,
则,将代入,
化简得对于恒成立.
则有,解得,.所以.
选①③作条件证明②:
因为,是等差数列,
所以公差,
所以,即,
因为,
所以是等差数列.
选②③作条件证明①:
[方法一]:定义法
设,则,
当时,;
当时,;
因为,所以,解得或;
当时,,当时,满足等差数列的定义,此时为等差数列;
当时,,不合题意,舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】:求解通项公式
因为,所以,,因为也为等差数列,所以公差,所以,故,当时,,当时,满足上式,故的通项公式为,所以,,符合题意.
20．答案：(1),
(2)
解析：(1)设等差数列公差为,等差数列公差为,
因为,,
所以,
即,即,
所以,解得,
所以,.
(2),
所以①
②
得,
所以