第十二章 定义 命题 证明（单元复习课件）-2025-2026学年七年级数学下册（苏科版2024）

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单元复习课件 第十二章 定义 命题 证明新教材苏科版·七年级下册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.了解定义的意义，能说出常见数学概念的定义； 3.了解证明的必要性，理解证明的基本步骤与书写格式；明确定义、基本事实、定理可作为推理依据；了解定理的概念。2.了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成 “如果… 那么…” 形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题； 定义、命题、证明定义命题证明对一个概念作出明确规定的语句构成判断画图写已知求证写证明过程定义互逆命题可以判断真假的陈述句条件+结论真命题互换条件和结论的两个命题反证法假命题定理定义：对一个概念作出的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言、,可以明确地区分这个概念所包含的对象.考点一、定义明确规定简单明了标准清晰1.命题：可以 的叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一.2.数学命题的构成：数学命题一般都由 和两部分组成.3.真命题：称为真命题；假命题：称为假命题。4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的，这个命题A的结论是命题B的，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。考点二、命题判断真假陈述句条件结论正确的命题错误的命题结论条件1.证明：从 出发,根据一些 (如 ,, 等),用 “”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。2.证明的一般步骤：（1）分清命题的和；（2）根据条件、结论，写出；（3）写出证明的。命题的条件考点三、证明已知的事实 定义基本性质定理因为……,所以…条件结论已知、求证过程1.反证法：通过否定命题的,发现了,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 .2.用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设；（2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立.在说明一个命题是假命题时,常用“”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子.结论考点四、反证法矛盾命题的结论不成立矛盾举反例考点五、定理定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的叫作定理.定理可以作为证明后续命题的 .由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的.2.几个常用的定理：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。（2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）多边形内角和定理: n边形的内角和等于(n-2)·180°（4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°.（5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 .真命题依据推论题型一、命题的概念与识别例1 下列属于命题的是(   )A．请你把书递过来！B．你早餐吃的什么？C．连接A,B两点D．-1是一个负数【详解】解：A、请你把书递过来！不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意；B、你早餐吃的什么？不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意；C、连接A、B两点，不是对事情事物的判断，故不是命题，不符合题意；D、-1是一个负数，是命题，则此项符合题意；故选：D．D题型一、命题的概念与识别下列语句是命题的是(   )A．画出两条相等的线段B．所有的同位角都相等吗？C．延长线段AB到C，使得BC=BAD．对顶角相等【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题；B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；C、延长线段AB到C，使得BC=BA，没有作出判断，不是命题；D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意；故选：D ．D题型二、命题的构成【详解】(1)解：条件：两个角的和等于180°；结论：这两个角互为补角．(2)解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5．(3)解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等．(4)解：条件：a=b且b=c；结论：a=c．例2.指出下列命题中的条件和结论：(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．(2)绝对值等于5的数一定是5．(3)两个钝角相等．(4)如果a=b，b=c,那么a=c．写出下列命题的条件和结论：(1)能被2整除的数一定是偶数．(2)两直线平行，同旁内角互补．(3)平行于同一条直线的两条直线平行．题型二、命题的构成【详解】(1)解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数．(2)解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补．(3)解：条件：两条直线都平行于同一条直线； 结论：这两条直线平行．题型三、命题的真假判断下列命题中，是真命题的是(    )A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．同旁内角相等，两直线平行C．相等的角是对顶角D．内错角相等例3 【详解】解：选项A：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，真命题；选项B：平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，假命题；选项C：相等的角不一定是对顶角，例如任意两个直角都相等但不一定是对顶角，假命题；选项D：只有两直线平行时，内错角才相等，缺少前提条件，假命题．A题型三、命题的真假判断下列语句是假命题的是(    )A．对顶角相等B．垂线段最短C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同旁内角互补【详解】解：A、对顶角相等是对顶角的基本性质，是真命题；B、垂线段最短是垂线段的基本性质，是真命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行是平行线的基本性质，是真命题；D、同旁内角互补只有在两直线平行时才成立，缺少“两直线平行”的前提条件，因此是假命题．故选：D．D题型四、举例说明假命题的错误例4.   C 题型四、举例说明假命题的错误 D题型五、写出一个命题的逆命题例5 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并写出它的逆命题．(1)两条直线相交只有一个交点．(2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点．(3)等边三角形也是等腰三角形吗？(4)等角的补角相等．(5)互为倒数的两个数的积为1．【详解】(1)是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交．(2)不是对一件事情做出判断的句子，故不是命题．(3)提问的表述不是对一件事情做出判断，故不是命题．(4)是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．(5)是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数．题型五、写出一个命题的逆命题  题型六、证明一个命题是真命题例6. 证明：等角的补角相等．【详解】已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°．求证：∠3=∠4．证明：∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°(已知)，∴∠2+∠3=180°(等量代换)，∴∠3=180°-∠2(等式的性质)．∵∠2+∠4=180°(已知)，∴∠4=180°-∠2(等式的性质)，∴∠3=∠4(等量代换)．题型六、证明一个命题是真命题命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．【详解】解：已知：⊥，a⊥c，求证：b∥c，证明：∵a⊥b，∴∠1=90°．∵a⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴b∥c．题型七、补充证明过程中的步骤或依据【详解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC(已知)，∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义)，∴EF∥AD(　同位角相等，两直线平行　)，∴∠2=∠3　(　两直线平行，同位角相等　)，∵∠1=∠2　(已知)，∴∠1=∠3(等量代换)，∴DG∥AB(　内错角相等，两直线平行　)．例7补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，(已知)，∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义)，∴EF∥AD(____________)．∴∠2=∠3(____________)．∵∠1=∠2(已知)，∴____________(等量代换)．∴DG∥AB(____________)．题型七、补充证明过程中的步骤或依据补全下列推理过程：如图，已知AB∥CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB，解：∵AB∥CE(已知)∴∠A=∠ADC(______)∵∠A=∠E(已知)∴∠E=∠ADC(______)∴AD∥EF(______)∴∠CGD=∠GHE(______)∵∠FHB=∠GHE(______)∴∠CGD=∠FHB【详解】解：∵AB∥CE(已知)，∴∠A=∠ADC(两直线平行，内错角相等)，∵∠A=∠E(已知)，∴∠E=∠ADC(等量代换)，∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)，∴∠CGD=∠GHE(两直线平行，同位角相等)，∵∠FHB=∠GHE(对顶角相等)，∴∠CGD=∠FHB．题型八、关于定理的说法判断下面关于基本事实和定理的说法不正确的是(  )A．基本事实和定理都是真命题B．基本事实就是定理，定理就是基本事实C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确；B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误；C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确；D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确．故选：B．例8 B题型八、关于定理的说法判断下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是( )A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意；B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意；C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意；D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意；故选：B．B题型九、有关代数问题的证明例9.任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，我们称这个算式为“如意式”．请予以证明． 题型九、有关代数问题的证明  题型十、用反证法证明问题  题型十、用反证法证明问题在△ABC中，AB=AC．求证：∠B180°，与三角形内角和定理等于180°相矛盾，∴假设∠B≥90°不成立，∴∠B