2024-2025学年浙江省湖州市德清县名校七年级下学期期末测试数学试卷（解析版）

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意；
B．：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意；
C．：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意；
D．：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意；
故选：B．
2.2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】将数据用科学记数法表示为；
故选：B．
3.如图，与是同旁内角的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】与是同位角；
与是内错角；
与是同旁内角；
与不是同旁内角；
故选：D．
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．，故原选项计算错误，不符合题意；
B．，故原选项计算错误，不符合题意；
C．，故原选项计算错误，不符合题意；
D．，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5.下列调查中，适合用抽样调查方式的是（ ）
A.了解七年级（1）班学生每周的体育锻炼时长
B.旅客登飞机前的安检
C.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D.某公司职工进行健康检查
【答案】C
【解析】A．七年级（1）班学生人数较少，全面调查可行，无需抽样，故不符合题意；
B．安检涉及安全，必须逐一检查，不可抽样，故不符合题意；
C．检测灯管寿命需破坏性测试，全面检测会导致所有灯管报废，故适合抽样调查，故符合题意；
D．职工健康检查需全员参与，确保个体健康数据准确，应全面调查，故不符合题意；
故选：C．
6.把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A.不变B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的D.缩小为原来的
【答案】D
【解析】把分式中的a、b分别用代替，得
，
∴分式的值缩小为原来的．
故选：D．
7.如果，那么m的值不能取（ ）
A.0B.1C.2D.4
【答案】B
【解析】A．把代入得 ，不符合题意．
B．把代入得 ，符合题意．
C．把代入得 ，不符合题意．
D．把代入得 ，不符合题意．
故选：B．
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得，
故选：A．
9.小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片沿着翻折，点A，D的对应点分别为，，与交于点G，再将沿着边翻折，点的对应点落在长方形的内部点H处，若平分，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由折叠的性质可得：，，，
∵平分，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
故选：A．
10.如图，已知正方形与正方形的重叠部分是长方形，面积记为，四边形与四边形都为正方形，面积分别记为和，已知，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，
由题意可得：，
∴，，
∵，
∴，
故，不是定值，
，是定值；
，不是定值，
，不是定值，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.计算：____．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12.当____时，分式无意义．
【答案】1
【解析】∵分式无意义，
∴，
解得．
故答案为：1．
13.已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组数据的频数分别为2，8，15，5，则第四组数据的频率是____．
【答案】0.4
【解析】第四组的频率为：．
故答案为：0.4．
14.若实数a，b满足，，则的值是____．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15.若满足，则____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16.如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为____．
【答案】
【解析】如图，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17.因式分解
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18.解方程（组）
（1）
（2）
解：（1），
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组解为．
（2），
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
所以方程的解为．
19.化简：，再在1，0，三个数中选择适当的数为x的值代入求值．
解：原式
，
∵，，，
∴，，，
∴选择代入得：原式．
20.某工厂设计了一个新零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为．
（1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简；
（2）当，时，求该零件模型的面积．
解：（1）该零件模型的面积为：
；
（2）当时，
该零件模型的面积
．
21.某地区随机抽取部分七年级学生长跑项目的达标测试成绩，成绩记为分，分，分，分四个等级，将结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，回答下列问题：

（1）本次共抽取学生多少人？
（2）计算成绩为分的学生人数及扇形统计图中分区域的圆心角的度数；
（3）若该地区共有七年级学生约人，那么成绩为分和分的学生共有多少人？
解：（1）本次抽取学生人数为（人）；
（2）成绩为分的人数为（人），
则成绩为分的人数为（人），
扇形统计图中分区域的圆心角的度数为；
（3）（人），
即成绩为分和分的学生共有人．
22.如图，在直角三角形中，，，，．
（1）点B到的距离是________；点到的距离是_________cm．
（2）画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离．
解：（1），cm，cm，
点到的距离cm，点到的距离cm．
故答案为：4，3；
（2）如图：线段的长就是表示点到的距离的线段，
根据题意，，
∵，
∴(cm)．
23.根据以下素材，探索完成任务．
解：任务一 设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元；
任务二 设原本购买a个智能手环，则购买个无线耳机，
根据题意得：，
解得：，
∴（个）．
答：原本购买48个智能手环，63个无线耳机；
任务三 设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用张兑换券兑换无线耳机，
根据题意得：，
∴，
又∵b， 均为非负整数，且，，
∴．
所以，使用9张兑换券兑换智能手环，则使用1张兑换券兑换无线耳机．
24.如图，直线，被直线所截，，一块含角的直角三角板（，）按如图1放置，点E，F分别在直线，上，且，的平分线交直线于点H．
（1）填空： （填“”，“”或“”）；
（2）当时，求的度数；
（3）将三角板沿直线左右移动，并保持（点F不与点N重合），设，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）．
解：（1）过点作，
∵，
∴，
∴，
∴,
故答案为：=；
（2）∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中 ，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）①当点在点的左侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴,
∵，
∴；
②当点在点的右侧时，如图，
同理得，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∵，
∴；
综上，的度数为或．
学校奖品购买方案设计
素材1
某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2
某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3
学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一
【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二
【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三
【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．