2026全国版高考数学一轮基础知识练 5.2平面向量的数量积 [含答案]

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五年高考
考点1 平面向量的夹角、模与数量积问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A.12 B.22 C.32 D.1
3.(2024北京,5,4分,易)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs=( )
A.-45 B.−25 C.25 D.45
(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,
-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β）,A(1,0),则 ( )
A.|OP1|=|OP2|
B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2
D.OA·OP1=OP2·OP3
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
考点2 平面向量的数量积的应用
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
6.(2024天津,14,5分,难)已知正方形ABCD的边长为1,DE=2EC.若BE=λBA+μBC,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则AF·DG的最小值为 .
三年模拟
基础强化练
1.(2025届河北唐山摸底,3)已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b方向上的投影向量为( )
A.(1,0) B.(3,0)
C.(4,0) D.(5,0)
2.(2025届广东深圳中学开学考,3)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为( )
A.-12 B.−32
C.12 D.32
3.(2025届广东佛山四校月考,4)若|a+b|=|a-b|,a=(1,2),b=(m,3),则实数m=( )
A.6 B.-6
C.3 D.-3
4.(2025届江西萍乡期中,6)已知平面向量a=(m,3),b=(-1,2),m∈R,若(a-b)⊥b,则b在a上的投影向量为( )
A.(1,2) B.(1,3)
C.−12,1 D.12,32
5.(2025届广东广州三校期中联考,3)已知正方形ABCD的边长为1,设点M、N满足AM=λAB,AN=μAD.若CM·CN=1,则λ2+2μ2的最小值为( )
A.2 B.1
C.23 D.34
6.(2024福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|=( )
A.2 B.22 C.10 D.23
7.(2024广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
8.(2025届江苏南通部分学校阶段测,2)已知向量a,b,c满足a≠0,a·b=a·c,a∥(b+c),则( )
A.b=c B.b2=c2
C.b⊥c D.b∥c
9.(多选)(2025届山东菏泽期中,10)如图,已知△ABC中,B=2π3,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则( )
A.2BM=BA+BC
B.BP·BC的最小值为-2
C.BM在BC上的投影向量为13BC
D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为1+3
10.(2025届浙江Z20名校联盟联考,12)已知a,b是两个单位向量,若(3a-b)⊥b,则向量a,b夹角的余弦值为 .
11.(2025届湖南长沙一中月考,13)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-14a,则|a+b|为 .
能力拔高练
1.(2024浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值范围是( )
A.[2,6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,8)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cs=-12,
|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.(多选)(2024广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是( )
A.若y=x,则x+y=23
B.若y=2x,则OA·OP=0
C.AB·PQ≥-2
D.PA·PB≥112
4.(多选)(2025届河南部分名校期中,10)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=13BC,点P在以CD为直径的半圆上,设AP=xAB+yAC,则( )
A.y的值不可能大于1
B.AD=13AC+23AB
C.AP·AB的最小值为13
D.AP·AB的最大值为1
5.(多选)(2024山东潍坊二模,11)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=12,则( )
A.1≤|c|≤32
B.(c-a)·(c-b)的最大值为1+254
C.-1≤b·c≤1
D.若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-54
6.(2025届上海华东师大附中期中,12)已知△ABC是边长为4的正三角形,平面上两动点O,P满足OP=λ1OA+λ2OB+λ3OC(λ1+λ2+λ3=1且λ1,λ2,λ3≥0).若|OP|=1,则OA·OB的最大值为 .
5.2 平面向量的数量积
五年高考
考点1 平面向量的夹角、模与数量积问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 C
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A.12 B.22 C.32 D.1
答案 B
3.(2024北京,5,4分,易)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
4.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs=( )
A.-45 B.−25 C.25 D.45
答案 D
(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,
-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β）,A(1,0),则 ( )
A.|OP1|=|OP2|
B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2
D.OA·OP1=OP2·OP3
答案 AC
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
答案 3
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
答案 -92
考点2 平面向量的数量积的应用
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
2.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
答案 D
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
6.(2024天津,14,5分,难)已知正方形ABCD的边长为1,DE=2EC.若BE=λBA+μBC,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则AF·DG的最小值为 .
答案 43;-518
三年模拟
基础强化练
1.(2025届河北唐山摸底,3)已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b方向上的投影向量为( )
A.(1,0) B.(3,0)
C.(4,0) D.(5,0)
答案 C
2.(2025届广东深圳中学开学考,3)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为( )
A.-12 B.−32
C.12 D.32
答案 D
3.(2025届广东佛山四校月考,4)若|a+b|=|a-b|,a=(1,2),b=(m,3),则实数m=( )
A.6 B.-6
C.3 D.-3
答案 B
4.(2025届江西萍乡期中,6)已知平面向量a=(m,3),b=(-1,2),m∈R,若(a-b)⊥b,则b在a上的投影向量为( )
A.(1,2) B.(1,3)
C.−12,1 D.12,32
答案 D
5.(2025届广东广州三校期中联考,3)已知正方形ABCD的边长为1,设点M、N满足AM=λAB,AN=μAD.若CM·CN=1,则λ2+2μ2的最小值为( )
A.2 B.1
C.23 D.34
答案 C
6.(2024福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|=( )
A.2 B.22 C.10 D.23
答案 C
7.(2024广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
答案 D
8.(2025届江苏南通部分学校阶段测,2)已知向量a,b,c满足a≠0,a·b=a·c,a∥(b+c),则( )
A.b=c B.b2=c2
C.b⊥c D.b∥c
答案 B
9.(多选)(2025届山东菏泽期中,10)如图,已知△ABC中,B=2π3,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则( )
A.2BM=BA+BC
B.BP·BC的最小值为-2
C.BM在BC上的投影向量为13BC
D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为1+3
答案 ABD
10.(2025届浙江Z20名校联盟联考,12)已知a,b是两个单位向量,若(3a-b)⊥b,则向量a,b夹角的余弦值为 .
答案 13
11.(2025届湖南长沙一中月考,13)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-14a,则|a+b|为 .
答案 3
能力拔高练
1.(2024浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值范围是( )
A.[2,6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
答案 D
(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,8)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cs=-12,
|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B
3.(多选)(2024广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是( )
A.若y=x,则x+y=23
B.若y=2x,则OA·OP=0
C.AB·PQ≥-2
D.PA·PB≥112
答案 ABD
4.(多选)(2025届河南部分名校期中,10)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=13BC,点P在以CD为直径的半圆上,设AP=xAB+yAC,则( )
A.y的值不可能大于1
B.AD=13AC+23AB
C.AP·AB的最小值为13
D.AP·AB的最大值为1
答案 BD
5.(多选)(2024山东潍坊二模,11)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=12,则( )
A.1≤|c|≤32
B.(c-a)·(c-b)的最大值为1+254
C.-1≤b·c≤1
D.若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-54
答案 BCD
6.(2025届上海华东师大附中期中,12)已知△ABC是边长为4的正三角形,平面上两动点O,P满足OP=λ1OA+λ2OB+λ3OC(λ1+λ2+λ3=1且λ1,λ2,λ3≥0).若|OP|=1,则OA·OB的最大值为 .
答案 9+43