2023届高考数学一轮复习精选用卷 专题突破练（6） 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 专题突破练（6） 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题+答案解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题突破练(6)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题

一、选择题
1．(2021·黑龙江市哈尔滨道里区模拟)已知点P在直线y＝x－1上，点Q在曲线x2＝2y上，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　设与直线y＝x－1平行且与抛物线相切的直线为y＝x＋b，则|PQ|的最小值即为两直线间的距离，由消去y，得x2－2x－2b＝0，Δ＝4＋8b＝0，所以b＝－，进而可得直线y＝x－与直线x－y－1＝0的距离为＝.故选D.
2．过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)
A．14 B．16
C.18 D．20
答案　C
解析　如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|＋|FQ|＋|PQ|＝|PF|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|PO|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18.故选C.

3．(2022·成都模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A.
B．(，)
C.∪(，＋∞)
D．(1，)∪(，＋∞)
答案　C
解析　由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a，则|MF2|＋|MN|>4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＋2a>4b恒成立，即|MF1|＋|MN|>4b－2a恒成立，则(|MF1|＋|MN|)min>4b－2a成立．由平面几何知识知，当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值，所以>4b－2a，即32－8·＋4>0，解得0<<或>2.又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)．故选C.
4．(多选)(2021·河北衡水中学高三第一次联合考试)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是(　　)
A．|AB|的最小值为2
B．以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切
C．x1x2为定值
D．若M(－1,0)，则∠AMF＝∠BMF
答案　BCD
解析　抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|最小值为2p＝4，故A不正确；

如图，设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线定义可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以|DD1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切，故B正确；设AB所在直线的方程为x＝ny＋1，由消去x，得y2－4ny－4＝0，所以y1y2＝－4，x1x2＝＝1，故C正确；又y1＋y2＝4n，kAM＋kBM＝＋＝＝
＝＝0，故D正确．
5．(多选)(2021·湖北武汉第二次调研)已知P为双曲线C：－y2＝1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则(　　)
A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－3
B．mn>
C．4m＋n的最小值为
D．|AB|的最小值为
答案　ABD
解析　由题意，知双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，设P(x0，y0)，不妨设P在第一象限，A在渐近线x－y＝0上，则k1＝－，k2＝，k1k2＝－3，A正确；P在双曲线上，则－y＝1，x－3y＝3，m＝，n＝，∴mn＝＝>，B正确；4m＋n≥2＝2，当且仅当4m＝n时等号成立，即4m＋n的最小值为2，C错误；渐近线y＝x的斜率为k＝＝，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴∠APB＝，|AB|2＝m2＋n2－2mncos＝m2＋n2＋mn≥3mn＝，当且仅当m＝n时等号成立，∴|AB|≥，∴|AB|的最小值为，D正确．故选ABD.
二、填空题
6．已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是________．
答案　2＋1
解析　设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(，0)，不妨设渐近线l：x－y＝0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|≥2＋1，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|＋|PQ|的最小值是2＋1.
7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则a＝________，＋的取值范围是________．
答案　2　[1,4]
解析　由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－，∴a＝2，c＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4，即＋的取值范围为[1,4]．
8．(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝2，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线y＝1相切．若存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P的坐标为________．
答案　
解析　∵AB为圆M的一条弦，O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为(x，y)，则|OM|2＋|OA|2＝|MA|2，

∵圆M与直线y＝1相切，则|MA|＝|y－1|，∴(y－1)2＝x2＋y2＋1，整理得x2＝－2y，∴点M的轨迹是以F为焦点，以直线y＝为准线的抛物线，∴|MA|－|MP|＝|y－1|－|MP|＝－|MP|＋＝|MF|－|MP|＋，当|MA|－|MP|为定值时，则点P与点F重合，即点P的坐标为.
三、解答题
9．(2022·上海奉贤中学高三上开学考试)双曲线Γ：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．
(1)设P为Γ右支上的任意一点，求|PF1|的最小值；
(2)设O为坐标原点，求点O到l的距离，并求l与Γ的交点坐标．
解　(1)根据题设条件，可得F1(－5,0)．
设P(x0，y0)，其中x0≥4，且y＝x－9，
则|PF1|＝＝，x0≥4，
所以当x0＝4时，|PF1|min＝9.
(2)F2(5,0)，Γ的两条渐近线方程为y＝±x，
根据题设，得l：3x＋4y－15＝0，点O到l的距离d＝＝3.
将l与Γ的方程联立，得
消去y得，10x＝41，解得x＝4.1，
代入l的方程得y＝0.675，所以l与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．
10．(2021·河北邯郸第三次模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.
(1)求证：点P是线段MN的中点；
(2)若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)证明：由题意知，直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为y＝kx＋1(k≠0)，代入x2＝4y，并整理得x2－4kx－4＝0.
所以Δ＝16k2＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
设M(x0，y0)，则x0＝＝2k，y0＝kx0＋1＝2k2＋1，即M(2k,2k2＋1)．
由MN⊥l，得N(2k，－1)，所以MN的中点坐标为(2k，k2)．
将x＝2k代入x2＝4y，
解得y＝k2，则P(2k，k2)，
所以点P是线段MN的中点．
(2)由x2＝4y，得y＝，则y′＝，所以抛物线C在点P(2k，k2)处的切线PQ的斜率为k，
又由直线m的斜率为k，可得m∥PQ；
又MN∥y轴，所以四边形MPQF为平行四边形．
而|MF|＝
＝2，
|MP|＝|(2k2＋1)－k2|＝k2＋1，
由|MF|＝|MP|，得2＝k2＋1，
解得k＝±，即当k＝±时，四边形MPQF为菱形，
且此时|PF|＝＝k2＋1＝|MP|＝|MF|，所以∠PMF＝60°，
直线m的方程为y＝±x＋1，
即x－y＋＝0或x＋y－＝0，
所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形，直线m的方程为x－y＋＝0或x＋y－＝0.
11. (2021·山西省大同市高三学情调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B.已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．
解　(1)因为|AB|＝4，所以2a＝4，即a＝2，
又点在椭圆上，
故＋＝1，即＋＝1，
联立方程组解得b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：设点P坐标为(s，t)，M，N的横坐标均为m(－2＜m＜2)，故M，
直线BM的斜率k1＝，
同理可得直线AN的斜率k2＝，
所以k1k2＝＝，
又因为点P在椭圆上，故有＋＝1，即t2＝－(s2－4)，则k1k2＝－，
故直线AN与直线BM的斜率之积是定值．
12．(2022·上海控江中学高三上开学考试)在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝4x，点C(1，0)，A，B为Γ上的两点，A在第一象限，且满足·＝－4.
(1)求证直线AB过定点，并求定点的坐标；
(2)设P为Γ上的动点，求的取值范围；
(3)记△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，求S1＋S2的最小值．
解　(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
由·＝－4知x1x2＋y1y2＝－4，
又y＝4x1，y＝4x2，
∴＝x1x2，
∴＋y1y2＝－4，则y1y2＝－8，
设直线AB的方程为x＝ky＋b，与抛物线方程联立，整理得y2－4ky－4b＝0，则y1y2＝－4b，
∴b＝2，故直线AB的方程为x＝ky＋2，即直线AB过定点(2,0)．
(2)设P(a2,2a)，则|OP|＝，|CP|＝a2＋1，
∴＝＝，
令t＝∈(0,1]，
∴y＝1＋2t－3t2＝－32＋且0 ∴当t＝时，ymax＝；当t＝1时，ymin＝0.
∴∈.
(3)由(1)，知直线AB的方程为x＝ky＋2，与抛物线方程联立，整理得y2－4ky－8＝0，
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－8，有y2－＝4k，由A在第一象限，得y1>0，即y2<0，
∴y－4ky2－8＝0，可得y2＝2k－2.
|AB|＝·
＝4，
又O到AB的距离d＝，
∴S1＝d·|AB|＝4，而S2＝·|OC|·|y2|＝＝－k，
∴设S1＋S2＝m＝5－k，
∴(m＋k)2＝25(2＋k2)，整理得24k2－2mk＋50－m2＝0，
∴Δ＝4m2－96(50－m2)≥0，即m2≥48，
又m>0，得m≥4.
∴S1＋S2的最小值为4.
13．在平面直角坐标系xOy中，①已知点A(，0)，直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；②已知圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A(，0)，B(－，0)到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2；③点S，T分别在x轴、y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋.
(1)在①②③这三个条件中任选一个作为条件，求动点P的轨迹方程；
(2)记(1)中的轨迹为E，经过点D(1,0)的直线l′交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
解　(1)若选①，设P(x，y)，根据题意，
＝，整理得＋y2＝1，
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
若选②，设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，
则|PA|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4＞2＝|AB|，
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a＝4,2c＝|AB|＝2，
故a＝2，c＝，b＝1，
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
若选③，设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，
则 ＝3，(*)
因为＝＋，
所以整理得
代入(*)得＋y2＝1，
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)设Q(0，y0)，当l′的斜率不存在时，y0＝0，
当l′的斜率存在时，设直线l′的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并整理，
得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
Δ＞0恒成立，x1＋x2＝.
设线段MN的中点为G(x3，y3)，
则x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝－，所以线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－，
令x＝0，得y0＝＝，
当k＜0时，＋4k≤－4，当且仅当k＝－时取等号，所以－≤y0＜0；
当k＞0时，＋4k≥4，当且仅当k＝时取等号，所以0＜y0≤.
综上，点Q纵坐标的取值范围是.