2024年新高考数学一轮复习 第八章 第六节 第二课时 圆锥曲线中的最值、范围问题

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课时跟踪检测（六十三） 圆锥曲线中的最值、范围问题1.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解：(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实数根．所以y1＋y2＝2y0.因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).因为x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈(4,5]．因此，△PAB面积的取值范围是.2．(2023·南通模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．解：(1)依题意可得解得所以双曲线的方程为x2－2y2＝1.(2)由(1)可知A(1,0)，依题意可知kAP·kAQ＝－1，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x－2y＝1，x－2y＝1，则有kAP＝＝，kAQ＝＝，所以·＝－1，·＝－1，所以x2y1＋2x1y2＝2y2－y1，y2x1＋2y1x2＝2y1－y2，作差得x2y1－x1y2＝3(y1－y2)，又PQ的方程为(x2－x1)y＝(y2－y1)x＋x2y1－x1y2，所以PQ过定点M(3, 0)，所以d≤|AM|＝2，即d的最大值为2.3．(2023·无锡高三期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求的取值范围．解：(1)由题意知∴∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，其中k<0，M(x1, y1)，N(x2, y2)则⇒3x2＋4k2(x2－2x＋1)＝12，∴(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|PM|＝|x1|，|PN|＝|x2|，|PF|＝，∴＝|x1|＋|x2|，若k≤－，则x1≥0，x2>0，∴|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝∈；若－<k<0，则x1<0，x2>0，∴|x1|＋|x2|＝x2－x1＝，令 ＝m，∴1<m<2，∴x2－x1＝＝＝，因为函数在(1, 2)单调递减，所以x2－x1＝∈.综上的取值范围为.4．(2022·济南三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．解：(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将y＝kx＋t代入＋＝1得(k2＋3)x2＋2ktx＋t2－6＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)＝t(x1＋x2)＋2kx1x2＝－，∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴kPA＝－kPB⇒＝－，化简可得2＋x1y2＋x2y1＝(y1＋y2)＋(x1＋x2)，即2＋＝＋·，即(k－)·(k＋t－)＝0，∵直线AB不过点P，∴k＝，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，则|AB|＝＝，又点P到直线AB的距离为，∵Δ＝12t2－24(t2－6)>0，∴－2<t<2，∴S＝··＝≤，当且仅当t＝±时等号成立，∴△PAB面积的最大值为.5．(2023·岳阳一中一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0,2)，抛物线C的焦点F在以OP为直径的圆上(O为坐标原点)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(1<r≤)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求实数t的取值范围．解：(1)由已知条件可得∠PFO＝90°，∴x0＝，4＝2p×＝p2，解得 所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意可知，过P引圆(x－3)2＋y2＝r2(1<r≤)的切线斜率存在，设切线PA的方程为y＝k1(x－1)＋2，则圆心M到切线PA的距离d＝＝r，整理得(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0.设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r2－4)k－8k2＋r2－4＝0.所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的两根，k1＋k2＝，k1k2＝1.设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由得k1y2－4y－4k1＋8＝0，由根与系数的关系知2y1＝，所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2. 设点D的横坐标为t，则t＝＝＝＝2(k＋k)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3.设m＝k1＋k2，则m＝∈，所以t＝2m2－2m－3，对称轴m＝>－，则t∈.