2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练29正弦定理和余弦定理 [含答案]

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基础达标练
1.在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1B.2C.3D.4
2.(2025·八省联考,7)在△ABC中,BC=8,AC=10,cs∠BAC=35,则△ABC的面积为( )
A.6B.8C.24D.48
3.在△ABC中,已知4S△ABC=a2+b2-c2,则角C的度数为( )
A.135°B.45°
C.60°D.120°
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+csinA+sinB+sinC=233,A=π3,b=1,则△ABC的面积为( )
A.32B.34C.12D.14
6.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=( )
A.5B.5C.2D.1
7.(多选)(2024·安徽池州模拟)在△ABC中,AB=3,B=60°,若满足条件的三角形有两个,则AC边的取值可能是( )
A.1.5B.1.6
C.1.7D.1.8
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cs A=35,则b= .
9.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cs C=-14,3sin A=2sin B,则c= .
10.(13分)(2024·江苏南通二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=3sin Asin B.
(1)若A=π3,求cs B;
(2)若c=6,求△ABC的面积.
能力提升练
11.(2024·湖南株洲模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若23acs C-3bcs C=3ccs B,则角C的大小为( )
A.π6B.π4
C.π3D.2π3
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acs B-bcs A=c,且C=π5,则B=( )
A.π10B.π5
C.3π10D.2π5
13.(多选)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b2=ac,sin2B=3sin Asin C,则( )
A.B=π3
B.ac=13
C.△ABC的面积为34
D.△ABC的周长为2+1
14.(2024·浙江嘉兴模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin A=3acs C,c=23,ab=8,则a+b的值是 .
15.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=23,求b.
素养拔高练
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a,a=23.若b∈[1,3],则c的最小值为 .
17.(15分)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且acs C+12c=b.
(1)求A;
(2)若a=1,求△ABC的周长L的取值范围.
答案：
1.A 在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcs C,得13=9+b2-2×3b×-12,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.
2.C 设AB=x,在△ABC中,
根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cs∠BAC,将BC=8,AC=10,cs∠BAC=35代入,可得82=102+x2-2×10×x×35,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S△ABC=12×6×8=24.
3.B 由4S△ABC=a2+b2-c2,得4×12absin C=2abcs C,解得tan C=1.又角C为△ABC的内角,所以C=45°.
4.B 由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,设a=3t,b=4t,c=5t(t>0),则a2+b2=25t2=c2,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.故选B.
5.B 由正弦定理可得asinA=bsinB=a+b+csinA+sinB+sinC=233.又A=π3,b=1,所以a=1,B=π3,所以△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的面积为12×12×32=34.
6.B S△ABC=12AB·BCsin B=12×1×2sin B=12,
∴sin B=22,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B=1+2-2×1×2×-22=5,∴AC=5.故选B.
7.BC 满足条件的△ABC有两个,可得AB·sin B