【月考试卷】2025-2026学年度高三下学期四月份月考试卷 数学试卷 （含答案）

这是一份【月考试卷】2025-2026学年度高三下学期四月份月考试卷 数学试卷 （含答案），文件包含湖北省武汉市2025届高三9月起点考物理试卷无答案pdf、物理答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，那么集合（ ）
A．B．C．D．
2．若（是虚数单位），则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．0B．1C．D．
4．已知平面向量，满足，且，，则（ ）
A．B．C．1D．
5．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则（ ）
A．B．C．D．1
6．已知点，分别是双曲线 (，)的左､右焦点，M是C右支上的一点，与y轴交于点P，的内切圆在边上的切点为Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
7．在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；环比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比．如图是根据国家统计局发布的2019年4月—2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．2020年1月CPI同比涨幅最大
B．2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大
C．2019年7月至12月，CPI一直增长
D．2020年1月至4月CPI只跌不涨
10．记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有，则称数列{an}为“和有界数列”．下列说法正确的是（ ）
A．若{an}是等差数列，且公差d=0，则{an}是“和有界数列”
B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0
C．若{an}是等比数列，且公比，则{an}是“和有界数列”
D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比
11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵中，AC⊥BC，且AA1=AB=2．下列说法正确的是（ ）

A．四棱锥B-A1ACC1为“阳马”
B．四面体A1C1CB为“鳖膈”
C．四棱锥B-A1ACC1体积最大为
D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B
12．已知，下面结论正确的是（ ）
A．若，，且的最小值为π，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若在上恰有7个零点，则ω的取值范围是
D．若在上单调递增，则ω的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________．
14．我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山．某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1—5，他让甲､乙､丙､丁､戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：
甲：2是泰山，3是华山；
乙：4是衡山，2是嵩山；
丙：1是衡山，5是恒山；
丁：4是恒山，3是嵩山；
戊：2是华山，5是泰山．
老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是_______．
15．已知函数，若，且，则的取值范围是__________．
16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3．若光线与地面所成角为θ，则sin=____，椭圆的离心率e=_______．


四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．设为线段上一点，，有下列条件：
①；②；③．
请从以上三个条件中任选两个，求的大小和的面积．
















18．（12分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．















19．（12分）四棱锥中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，点M在PB上且PB=4PM，PB与平面PCD所成角为60°．
（1）求证：面；
（2）求二面角的余弦值．

















20．（12分）某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，
收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中，．
（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到)；
（3）若该图书每册的定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．















21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2点．M为椭圆上的一动点，面积的最大值为4．过点F2的直线l被椭圆截得的线段为PQ，当轴时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1作与x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
























22．（12分）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设函数，若对任意实数，当时，函数的最大值为，求a的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，，．求证：．








数 学答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】依题意，其中，，所以，故选C．
2．【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，故选D．
3．【答案】A
【解析】因为，
所以，即，
则，故选A．
4．【答案】C
【解析】，∴，
∴，∴，故选C．
5．【答案】B
【解析】为偶函数，且可由向左平移个单位得到，
关于轴对称，即，
又为上的奇函数，，且，
，是一个周期为的周期函数，
，，，故选B．
6．【答案】C
【解析】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，
如图所示：

则，，
由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得
，
解得，
又，即有，离心率，故选C．
7．【答案】D
【解析】二项式的展开式中第项为，
则，则，则展开式中有项，
当时，，即有理项有项，无理项有项，
项重新排列共种排列数，
先排列无理项共种排列数；
要使得有理项不相邻，则项有理项的排列数为，
所以有理项都互不相邻的概率为，故选D．
8．【答案】B
【解析】函数有两个零点，
由题意得方程有两个根．
设，则，
设，则，
所以在上单调递减，
又，
当，所以在上单调递增；
当，所以在上单调递减，
又，，
当时，，则，
所以存在，，即在上，，
又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，，
作出函数的大致图象如下．

所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，
所以实数的取值范围是，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】AB
【解析】对于A，由同比折线可发现2020年1月CPI同比涨幅最大，故A正确；
对于B，由图可知2019年4月环比涨幅为，2019年12月为，故B正确；
对于C，由环比定义可知，2019年10月至12月间，下跌，故C错误；
对于D，由环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故D错误，
故选AB．
10．【答案】BC
【解析】是等差数列，公差为，则．
A．，则，若，则时，，{an}不是“和有界数列”，A错；
B．若{an}是“和有界数列”，则由，知，，即，B正确；
C．{an}是等比数列，公比是，则，若，则时，，
根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；
D．若，，则，∴，{an}是“和有界数列”，D错，
故选BC．
11．【答案】ABD
【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．
所以在堑堵中，AC⊥BC，侧棱平面．
在选项A中．所以，
又AC⊥BC，且，则平面，
所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确；
在选项B中．由AC⊥BC，即，
又且，所以平面．
所以，则为直角三角形．
又由平面，得为直角三角形．
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，
所以四面体A1C1CB为“鳖膈”，故B正确；
在选项C中．在底面有，即，当且仅当时取等号，
，所以C不正确；
在选项D中．由上面有平面，则，AF⊥A1C且，
则平面，
所以，AE⊥A1B且，则平面，则，所以D正确，
故选ABD．
12．【答案】BCD
【解析】由题意，
A．题意说明函数相邻两个最值的横坐标之差为，周期为，，，A错；
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象解析式是，时，，是偶函数，图象关于轴对称，B正确；
C．时，，在上有7个零点，
则，解得，C正确；
D．在上单调递增，则，
又，故解得，D正确，
故选BCD．

第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，
所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为，
故答案为．
14．【答案】5
【解析】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，
故甲：3是华山是正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：1是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的；乙：2是嵩山是正确的，
故五岳之尊泰山图片上标的数字是5，故答案为5．
15．【答案】
【解析】如图，作出函数的图象，
由，得，
，，，，
所以，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
故，即的取值范围是，

故答案为．
16．【答案】，
【解析】连接，则，
因为，，所以，
所以，
在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，，如图．
椭圆的长轴长是，过向做垂线，垂足是，
由题意得，，
又，所以，
即，，
椭圆的离心率为．
故答案为，．



四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】；的面积为1．
【解析】（解法一）选①②，则，，
由余弦定理可得，
又，∴，∴，
在中，由正弦定理可得，
∵，∴，
又，∴，
∴，，
则在中，，∴，
∴．
（解法二）选②③，∵，，，∴，
由余弦定理可得，
又，∴，
∴，∴，
在中，由正弦定理可得，
∵，∴．
又，∴，
∴，，
则在中，，∴，
∴．
（解法三）选①③，则，，
则，
由余弦定理可得，
又，∴，
∵，∴，∴，
在中，由正弦定理可得，
∵，∴，
又，∴，
∴，，
则在中，，∴，
∴．
18．【答案】（1）；（2）存在，最小值为．
【解析】（1）设等比数列的公比为q，则，，
由题意得，即，解得，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）有．
假设存在，使得，则，
即，
当为偶数时，，上式不成立；
当为奇数时，，即，解得，
综上，存在符合条件的正整数，最小值为11．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在线段AB上取一点N，使，

因为，所以且，
所以为平行四边形，
所以，平面，平面，则平面，
在三角形ABP中，，所以，
平面，平面，则平面，
，所以平面MNC//平面PAD，
又平面MNC，所以平面PAD．
（2）以C为原点，CB，CD，CP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．

面ABCD，所以，
又因为，所以面，所以在面PCD的射影为PC，
所以与平面PCD所成角，所以，，
所以，，，，，
，．
面法向量；面法向量，
，所以，
所以，
所以二面角所成角的余弦值为．
20．【答案】（1）更适合；（2）；（3）至少印刷册．
【解析】（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量(单位：千册)的回归方程．
（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，
由于，
所以，
所以y关于u的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为．
（3）假设印刷千册，依题意得，解得，
所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元．
21．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．
【解析】（1）由题意：的最大面积，，
又，
联立方程，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）D的横坐标为定值，理由如下：
已知直线斜率不为零，代入，即，
整理得，
设，且均不为零，①，②，
两式相除得③
，设的方程，令，
④
将③代入④，
∴点的横坐标为定值．
22．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以．
（2）由题意，
，
①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为；
②当时，令，有，，
(i)当时，函数在上单调递增，显然符合题意；
(ii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，
要使对任意实数，当时，函数的最大值为，
只需，解得，
又，所以此时实数的取值范围是；
(iii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
要对任意实数，当时，函数的最大值为，需代入化简得，①
令，
因为恒成立，
故恒有，所以时，①式恒成立，
综上，实数的取值范围是．
（3）由题意，正项数列满足：，，
由（1）知，即有不等式，
由已知条件知，，
故，
从而当时，，
所以有，对也成立，
所以有．