2024-2025学年广东省广州四中高三（下）4月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州四中高三（下）4月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1b>0)与抛物线C：y2=2px(p>0)，椭圆E与抛物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点，则椭圆E的离心率为( )
A. 2−1B. 22C. 2−12D. 5−12
6.已知角α，β满足tanα=m，2sinβ=cs(α+β)sinα，则tanβ=( )
A. m1+3m2B. m2+3m2C. 1+3m2mD. 2+3m2m
7.下列结论正确的是( )
A. 若数列{an}的前n项和Sn=n2−2n+1，则数列{an}为等差数列
B. 若数列{an}为等比数列，且前n项和Sn=t⋅3n−1+1，则t=−3
C. 若数列{an}为单调递增的等比数列，则公比q>1
D. 若a，b，c是不全相等的非零实数，且a，b，c成等差数列，则1a,1b,1c能构成等差数列
8.已知函数f(x)=sin2ωx+ 32sin2ωx−12(ω>0)，它的两个相邻的极值点之间的距离为 π24+4.若先将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图像，则y=g(x)−|lg4x|在(0,+∞)上的零点个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)=0.88
B. 样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11
C. 某分层抽样有2层，第1层样本数为25，其平均数和方差分别为176和14，第2层样本数为15，其平均数和方差分别为160和30，则总方差为80
D. 已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3...)的经验回归方程为y =2x+a ，若样本点(m,3)与点(2,n)的残差相等，则2m+n=7
10.已知函数f(x)对任意的x，y∈R都有f(x+y)−f(x−y)=2f(y)，f(1)=1，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论正确的是( )
A. f(5)=1
B. f(x)是奇函数
C. f(2nx)=2nf(x)
D. 不等式f(x2−x−2)>4的解集是(−∞,−2)∪(3,+∞)
11.已知直棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正确的是( )
A. MD1⊥AC
B. 若直线DM与直线CA1所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分
C. 当λ=μ=12时，三棱锥M−BCD的外接球的体积为20 53π
D. 记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则|AM|+d的最小值为 3+ 72
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的第5项是( x−13x)6的展开式中的常数项，则该数列的前9项和S9= ______．
13.若曲线y=ln(2x+2)在(−12,0)处的切线也是曲线y=ex+x+a的切线，则a= ______．
14.项数为m的数列{an}满足ai∈{0,1}(i=1，2，…，m)，当且仅当ai−1=ai+1时ai=0(其中i=1，2，…，m，规定：a0=am，am+1=a1)，称{an}为“好数列”.在项数为6且ai∈{0,1}(i=1，2，…，6)的所有{an}中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b−c=2acsC．
(1)求A的大小；
(2)若a= 6，∠BAC的平分线AD交BC于点D，且AD=1，求△ABC的面积．
16.(本小题17分)
人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作D(Y)，(2)中X的方差记作D(X)，比较D(X)与D(Y)的大小．
(结论不要求证明)
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，且满足AB⊥BC，AB//CD,AB=2BC=2CD=2 2,PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若PA=PD，点M在线段PB上，当二面角M−AD−P大小为π4时，求四棱锥M−ABCD的体积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax−1，a∈R．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，f(x)≥xlnx恒成立，求a的取值范围；
(Ⅲ)当a=1时，设g(x)=f(x)−x2，证明：g(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点x0且g(x0)>−34．
参考数据：e3≈20.09．
19.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=± 3x，且经过点( 2, 3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P0(3,0)作两条互相垂直的直线(两条直线的斜率都存在)分别交双曲线C于点A1、B1和点C1、D1，M1、N1分别为弦A1B1和C1D1的中点，直线M1N1与x轴交于点P1(t1,0)；过点P1(t1,0)作两条互相垂直的直线(两条直线的斜率都存在)分别交双曲线C于点A2、B2和点C2、D2，M2、N2分别为弦A2B2和C2D2的中点，直线M2N2与x轴交于点P2(t2,0)…；依此类推得到点列Pn(tn,0)，n∈N∗．
(i)求数列{tn}的通项公式；
(ii)Qn、Rn分别在双曲线的左支和右支上，且直线QnRn经过点Pn，当n≥2，n∈N∗时满足：①直线Qn−1Rn−1的倾斜角总是π4；②点Qn−1和Rn关于y轴对称.设点Rn的坐标为(xn,yn)，数列{xn+12+xn2}的前n项和为Sn.证明：SnD(X)．
17.(1)证明：连接BD，

在直角梯形ABCD中，易得BD=2，AD=2，
又因为AB=2 2，所以BD2+AD2=AB2，所以BD⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA，又因为PA⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，
所以PA⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，
所以PA⊥PB．
(2)解：如图，取AD的中点O，AB的中点G，连接OP，OG，
由题意可得OP⊥AD，OG⊥AD，OP=1，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0),D(−1,0,0),B(−1,2,0),P(0,0,1),AD=(−2,0,0),AM=(−λ−1,2λ,1−λ)，
设PM=λPB，则M(−λ,2λ,1−λ)，
设m=(x,y,z)为平面MAD的一个法向量，
则m⋅AD=−2x=0m⋅AM=(−λ−1)x+2λy+(1−λ)z=0，
令y=1，则平面MAD的一个法向量m=(0,1,2λλ−1)，
易得平面PAD的一个法向量n=BD=(0,2,0)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=22× 1+4λ2λ2−2λ+1= 22，
解得λ=13或λ=−1(舍)，
即M为PB的靠近P的三等分点时，二面角M−AD−P的平面角为π4，
PO⊥平面ABCD，且PO=1，
所以M到平面ABCD的距离为23，又四边形ABCD的面积为3，
所以四棱锥M−ABCD的体积VM−ABCD=13SABCDℎ=13⋅3⋅23=23．
18.解：(I)因为f(x)=ex−ax−1其中x∈R，f′(x)=ex−a．
①当a≤0时，f′(x)=ex−a>0恒成立，f(x)的增区间为(−∞,+∞)，无减区间；
②当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna，由f(x)ℎa．
此时，函数f(x)的减区间为(−∞,lna)，增区间为(lna,+∞)．
综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(−∞,+∞)，无减区间；
当a>0时，函数f(x)的减区间为(−∞,lna)，增区间为(ℎna,+∞)．
(II)当x∈(0,+∞)时，ex−ax−1≥xlnx恒成立，即a≤ex−xlnx−1x恒成立．
令ℎ(x)=ex−xlnx−1x，则ℎ′(x)=(x−1)(ex−1)x2，其中x>0，由ℎ(x)−(32)2+32=−34．
19.解：(1)双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=± 3x，且经过点( 2, 3)．
故得ba= 3，即b= 3a，
又双曲线C经过点( 2, 3)，解得a=1，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)令t0=3，设两条直线的方程分别为y=k(x−tn)(k≠0)和y=−1k(x−tn)，
设An+1(x1,y1)，Bn+1(x2,y2)，由y=k(x−tn)x2−y23=1得(3−k2)x2+2k2tnx−k2tn2−3=0，
由Δ>0，得3−k2≠0，k2−3