【月考试卷】吉林省长春市2025-2026学年度高三下学期四月份月考试卷 理科数学试卷 （含答案）

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理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足的集合A的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．8
2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（ ）
A．1500元B．1550元C．1750元D．1800元
3．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若是公比为e的正项等比数列，则是（ ）
A．公比为的等比数列B．公比为3的等比数列
C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列
5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．2
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．B．C．D．
7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．设，是两平面，，是两直线．下列说法正确的是（ ）
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，，，则
A．①③B．②③④C．①②④D．①②③④
9．某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（ ）
A．320种B．252种C．182种D．120种
10．在等差数列中，，且，则在中，n的最大值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
11．已知过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
12．设函数，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数图象的一条对称轴是，则的值是__________．
14．设复数，满足，，则_________．
15．给出下列命题：
①命题“若，则”的否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③命题“，使得”的否定是：“，均有”；
④命题“若，则”的逆否命题为真命题．
其中所有正确命题的序号是_________．
16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．












18．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若是等边三角形，求二面角的正弦值．















19．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为．
（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（2）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．
①当，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．















20．（12分）已知椭圆的离心率为，其长轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交于、两点，直线交于、两点，若．
求四边形的面积．



















21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：函数有2个零点．






















请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最大值．










23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知，，且．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明：．




可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
超过500元的部分
理 科 数 学答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由题意，可得满足的集合A为，，，，共4个，
故选C．
2．【答案】A
【解析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元），故选A．
3．【答案】B
【解析】如下图，，

根据向量加法的三角形法，则，
∵，又，∴，
即，故选B．
4．【答案】D
【解析】因为是公比为的正项等比数列，所以，且，
因为，为常数，
所以是公差为3的等差数列，故选D．
5．【答案】C
【解析】圆的圆心，半径为，
双曲线的渐近线方程为，由点到直线的距离可得到，解得，
即，，可得，故选C．
6．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，
故其表面积为，故答案为C．
7．【答案】D
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
根据素数对称为孪生素数，
则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共有4组，
能够组成孪生素数的概率为，故选D．
8．【答案】D
【解析】由平行公理知①对；
垂直于同一平面的两条直线平行，故②对；
垂直于同一直线的两个平面平行，故③对；
由面面垂直性质定理知④对，
故选D．
9．【答案】C
【解析】分成人、人两组时，有种，
分成人、人两组时，有种，
所以共有种，故选C．
10．【答案】C
【解析】设公差为，，，，
，则，即，
，，
则时，n的最大值为19，故选C．
11．【答案】D
【解析】作出抛物线的准线，设A、B在上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作于E．

∵，∴设，，
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，．
因此，中，，得，
所以，直线AB的倾斜角，
得直线AB的斜率，故选D．
12．【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，可得是偶函数，
所以等价于，
当时，，
因为单调递增，单调递减，
所以为单调递增函数，
所以，即，
整理可得，解得或，
所以使得成立的x的取值范围是，故选B．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】∵函数图象的一条对称轴是，
∴，即，
又，∴，
故答案为．
14．【答案】
【解析】方法一：设，，
，
，
又，所以，，
，
，
，
故答案为．
方法二：如图所示，设复数所对应的点为，，
由已知，
∴平行四边形为菱形，且，都是正三角形，
∴，
，
∴．

15．【答案】④
【解析】①根据否命题的定义可知，
命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以①错误；
②由，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以②错误；
③根据特称命题的否定是全称命题，
得命题“，使得”的否定是：
“，均有”，所以③错误；
④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，
所以命题“若，则”的逆否命题为真命题，所以④正确，
故答案为④．
16．【答案】
【解析】设公切线与的图象切于点，
与曲线切于点，
∴，
化简可得，∴，
∵，，
设，则，
∴h（x）在上递增，在上递减，
∴，∴实数a的最大值为，
故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，所以．
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，．
在中，由余弦定理得
，
所以．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接．
因为，，，
所以，所以．
因为为的中点，所以．
因为为的中点，且，所以．
因为，所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为是等边三角形，所以．
由（1）可知平面，则，，两两垂直，
故以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．

因为底面是边长为4的等边三角形，所以．
因为是等边三角形，所以．
所以，，，，
则，．
设平面的法向量，
则，令，得；
易知平面的一个法向量为，
记二面角为，则，
故．
19．【答案】（1）；（2）①见解析；②当时，用分组的办法能减少检验次数．
【解析】（1）对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率．
（2）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，
若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，
故的分布列为
②分组时，每人检验次数的期望如下
，
，
∴，
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需，
即，
所以当时，用分组的办法能减少检验次数．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，解得，
因此，椭圆的方程为．
（2）设、，则、，
联立，则，
，
同理可得，
且到直线的距离，
所以，
又，
所以．
21．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，，则，
可得．
当时，，，在单调递增，，在单调递增；
当时，可得，，
在单调递减，
综上，在单调递减，在单调递增．
（2）当时，，是的一个零点，
由，可得．
因为，
①当时，，，在单调递增，，
在单调递增，，此时在无零点；
②当时，，有，
此时在无零点；
③当时，，，在单调递增，
又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得．
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
又，，所以在上有1个零点，
综上，当时，有2个零点．
22．【答案】（1），；（2）3．
【解析】（1）由（为参数），
因为，且，
所以的普通方程为．
由，得，
即直线的直角坐标方程为得．
（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，），
则上的点到的距离为．
当时，取得最大值6，故上的点到距离的最大值为3．
23．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设，
由，得．
故，
所以．
当时，，得；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故，
综上，．
（2），
．