2025-2026学年安徽省合肥市第六中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省合肥市第六中学高二（下）期中数学试卷，文件包含河北省金太阳2025届高三3月联考数学答案pdf、河北省金太阳2025届高三3月联考数学pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
1.下列导数运算正确的是（ ）.
A. B. （2x）′=2x
C. （sinx）′=-csxD.
2.（理）现有11个保送大学的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（ ）
A. 56种B. 112种C. 120种D. 240种
3.袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线y=kx+b既是曲线y=ex的切线，也是曲线y=-e-x的切线，则（ ）
A. k=e,b=0B. k=1，b=0C. k=e,b=-1D. k=1，b=-1
5.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A. 20B. 90C. 15D. 45
6.已知函数f（x）=csx+ex，且a=f（3），，c=f（ln3），则a,b,c的大小关系（ ）
A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. c＜b＜aD. a＜c＜b
7.不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n=2时取出黑球的数目，η表示当n=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ）
A. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
8.若函数f（x）=alnx,且f（ax）≤ex，则实数a的取值范围是（ ）
A. （1，e）B. C. （0，e]D. （0，1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X～N（8，4），若P（X≤6）=a,P（8＜X＜10）=b,则（ ）
A. P（X≥10）=aB. C. E（2X-1）=15D. D（2X-2）=14
10.现有6本不同的书需要分配，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有360种不同的分配方式
B. 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分配方式
C. 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有90种不同的分配方式
D. 甲得1本，乙得1本，丙得4本，有30种不同的分配方式
11.已知函数，则（ ）
A. 若函数f（x）有两个不同的零点，则m＞e
B. 若函数g（x）≥0恒成立，则m≤e
C. 若函数f（x）和g（x）共有两个不同的零点，则m=1
D. 若函数f（x）和g（x）共有三个不同的零点，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是______（用数字作答）．
13.已知X～N（3，4）且P（X＞4）=P（X＜a），则二项式的展开式中，常数项为______.
14.已知a≥e2，b＞0，c＞0，当x＞0时，恒成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：
（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？
（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？
（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
16.(本小题15分)
已知函数​​​​​​​其中．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
17.(本小题15分)
某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训.
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门.从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
（i）求每位员工经过培训合格的概率；
（ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）.
18.(本小题17分)
某种比赛采用“2n+1局n+1胜”（n∈N*）制（即累计先赢n+1局者获得本场比赛胜利）.在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1-p（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）.
（1）当n=1时，若，结束比赛时，比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）如果选择以下方案中的一种：
方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为P（A）.
方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为P（B）.
比较P（A）和P（B）的大小；
（3）记“2n-1局n胜”（n∈N*）制比赛中甲获得最终胜利的概率为p1，记“2n+1局n+1胜”（n∈N*）制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为p2，证明：.
19.(本小题17分)
已知函数，a∈R.
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值；
（2）讨论f（x）的零点个数；
（3）若函数有三个不同的极值点x1，x2，x3，且满足，求a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】260
13.【答案】24
14.【答案】
15.【答案】解：（1）5位同学站成一排共有=120．
（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．
故有=24．
（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法
②2，2，1有=90种方法
所以，所有方法总数为60+90=150种方法．
16.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=，
∴f（2）=3；
∵f′（x）=3x2-3x，
∴f′（2）=6．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），
即切线方程为.
（2）f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1）．
令f′（x）=0，
解得x=0或x=．
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
当时，f（x）＞0，等价于即．
解不等式组得-5＜a＜5．因此0＜a≤2；
若a＞2，则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
当时，f（x）＞0等价于即
解不等式组得或．
因此2＜a＜5．
综合和，可知a的取值范围为0＜a＜5．
17.【答案】分布列见解析，E（X）=1；
（i），
（ii）1100万元．
18.【答案】（1） （2）P（A）=P（B） （3）证明：设甲乙进行2n-1局比赛，甲赢的局数为X，则X∼B（2n-1，p），p1=P（X≥n），
“2n+1局n+1胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为：
若第2局甲输，则后续最多2n-1局比赛，甲至少胜n+1局，
若第2局甲胜，则后续最多2n-1局比赛，甲至少胜n局，
由全概率公式得p2=（1-p）•P（X≥n+1）+p•P（X≥n）=（1-p）•（p1-P（X=n））+p•p1
=，
故
19.【答案】最大值为，最小值为1 当时，f（x）无零点，当或a≤0时，f（x）有1个零点，当时，f（x）有2个零点 x
（-，0）
0
（0，）
f′（x）
+
0
-
f（x）
增
极大值
减
x

（-，0）
0
（0，）
（，）
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
增
极大值
减
极小值
增