福建省福州市仓山区实验中学2025—2026学年第二学期校内期中进阶练习 八年级 数学含答案

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本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟．
第I卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，6，8C. 5，7，9D. 6，8，10
5. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等
8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
10. 如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____．
12. “比的2倍小1的数”用代数式表示是________．
13. 在菱形中，，则菱形的周长为______．
14. 如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________．
15. 如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________．
16. 如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 若一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个正多边形一个内角的度数．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点．
21. 如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由．
22. 已知．
（1）求的最小值；
（2）若，求的值．
23. 如图，在正方形中，为对角线．
（1）尺规作图：在，，上分别取点，，，使得四边形为菱形（要求：保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长交于点，若，求的长．
24. 综合实践
【问题背景】
勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形：
图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形；
图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形；
这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为．
（1）【探索求证】
请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理．
（2）【深入实践】
同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论．
（3）【拓展迁移】
如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________．
25. 如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②若点F恰为边的中点，求证：．
（2）如图2，若，．求证：．
2025-2026学年第二学期校内期中进阶练习
八年级数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟．
第I卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可.
【详解】解：、图形被对角线分成了两个三角形，三角形具有稳定性，故该选项符合题意；
、图形由两个四边形组成，四边形具有不稳定性，故该选项不符合题意；
、图形虽然包含三角形，但整体结构复杂且含有非封闭部分（或视为多边形组合），不如选项典型和明确，且通常此类题目考察基本的三角形稳定性应用，故该选项不符合题意；
、图形被分成两个四边形，四边形具有不稳定性，故该选项不符合题意. ．
2. 下列各式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可．
【详解】根据最简二次根式的定义逐一判断：
解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知，再结合即可求出的度数．
【详解】解：如下图：
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，6，8C. 5，7，9D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两个较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，若相等则能构成直角三角形，反之则不能．
【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形；
B、，，，不能构成直角三角形；
C、，，，不能构成直角三角形；
D、，，，能构成直角三角形．
5. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可．
【详解】解：第一个不等式的解集为，第二个表达式的解集为，
故不等式组的解集为．
6. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算及性质，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
根据同类二次根式的加减法则、二次根式的乘法法则和算术平方根的性质逐一判断选项．
【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并
∴A选项错误；
∵
，
∴B选项错误；
∵
，
∴C选项错误；
∵
，
∴D选项正确；
故选：D．
7. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等，
矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，
故选：B．
8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺．
由题意可得：，
故选：C．
9. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先利用中位线求的长度，再根据直角三角形斜边中线求的长度，最后计算．
【详解】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
∵，是的中点，
，
∵，
∴，
．
10. 如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】 先确定每一行，每一列有8个格点，根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点，再根据，对网格的格点进行错位间隔排布，即可解答．
【详解】解：如图所示，每一行，每一列有8个格点，
根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点，
∵，
∴格点进行错位间隔排布，如下图，
则最多画出 13个点．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可．
【详解】解：若要根式有意义，
则，
解得．
12. “比的2倍小1的数”用代数式表示是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】解：“比的2倍小1的数”用代数式表示是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意是关键．
13. 在菱形中，，则菱形的周长为______．
【答案】20
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，，，再由勾股定理求得的长，继而求得答案．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，，
，
∴菱形的周长为．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14. 如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可.
【详解】解：∵，是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
15. 如图，在中，，、分别是、的平分线分别交于点、，交于点，若，，则的长为______________．
【答案】1
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义，推出，，得到，再推出是等边三角形，即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
∴，
是等边三角形，
，
．
16. 如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由正方形和等边三角形的性质可得，，，以、为邻边构造平行四边形，与交于点，从而得出点在射线上运动，当时，有最小值，此时有最小值，再在含30度角的直角三角形中求解即可．
【详解】解：如图，连接，
在正方形中，，
，，，
，
是等边三角形，
，
以、为邻边构造平行四边形，与交于点，
，，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，有最小值，此时有最小值，
，
在中，，
的最小值是．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式和绝对值、利用平方差公式计算二次根式的乘法，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
18. 若一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个正多边形一个内角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】先设正多边形的边数，根据题干条件列方程求出边数，再计算一个内角的度数即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
则，
∴，
∴正多边形一个内角的度数为．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式；
当时，原式．
20. 如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由矩形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由线段中点的定义可得．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴是的中点．
21. 如图，在四边形中，，，，，连接，若，判断和的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】先在利用勾股定理求出边长，再在中利用勾股定理逆定理得，即可证明．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
22. 已知．
（1）求的最小值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）3 （2）13
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质得出，即可求解；
（2）将式子化简得出，确定，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴当时，
的最小值为3；
【小问2详解】
∵，，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
解得：，经检验，是方程的解，
∴．
23. 如图，在正方形中，为对角线．
（1）尺规作图：在，，上分别取点，，，使得四边形为菱形（要求：保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长交于点，若，求的长．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先作的角平分线，交于点；再作的线段垂直平分线，分别交，于点，；然后连接，则四边形即为所求；
（2）先求出的长，再证出，然后根据求解即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求．
【小问2详解】
解：由题意，画出图形如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 综合实践
【问题背景】
勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形：
图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形；
图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形；
这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为．
（1）【探索求证】
请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理．
（2）【深入实践】
同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论．
（3）【拓展迁移】
如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）从图1，图2，图3任选一个图形，根据整体的面积等于每部分面积和即可证明；
（2）根据都是正数，要证，两边平方等价于证明，结合勾股定理，得，结合，得出该式恒成立，即可证明；
（3）设中，，分别求出，由勾股定理得，即可得出，结合​，，．证出．
【小问1详解】
解：选图1：
大正方形边长为，因此大正方形面积，
大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为的小正方形组成，因此总面积也可表示为：，
因此，勾股定理得证．
选图2：大正方形边长，面积，
整理得，勾股定理得证．
选图3：梯形面积，
整理得，勾股定理得证．
【小问2详解】
证明：∵都是正数，
要证，两边平方等价于证明，整理得，
结合勾股定理，代入得：，
整理得，
∵，
∴该式恒成立，
因此原不等式​得证．
【小问3详解】
解：．
理由：设中，，
过点分别作，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵​，，．
将前两式相加，代入，消去相同项后整理得：．
25. 如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②若点F恰为边的中点，求证：．
（2）如图2，若，．求证：．
【答案】（1）①证明见详解，②证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）①利用菱形的性质得到，再结合已知条件得到，从而推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
②分别延长、交于点G，证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差关系即可证得结论；
（2）过点C作交延长线于点N，利用菱形的性质得出，，，证明是等腰三角形，结合已知条件证得是等腰三角形，再证得和是等腰直角三角形，从而得出相关线段的等量关系，然后证明，利用线段和差关系即可证得结论．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②证明：如图，分别延长、交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，点F，E分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，过点C作交延长线于点N，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即,
∴．