山东青岛市西海岸2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷（含解析）

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1.本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，90分．
2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第I卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况．
【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误；
B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确；
C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误；
D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误．
3. 如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（ ）
A. 三边的垂直平分线的交点处B. 的三条高线的交点处
C. 的三条角平分线的交点处D. 的三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处．
【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等，
∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处．
4. 如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据旋转的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，
∴旋转角为，
∵点在底边上，
∴，即旋转角的度数为．
5. 用反证法证明命题“在中，，，所对的边分别为，，，若，则．”时，应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，只需找到原结论的否定即可得到答案．
【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论为．
∴应假设．
6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A. 互为邻补角的两个角的和为B. 若，，则
C. 全等三角形的对应角相等D. 同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再根据初中数学的相关定义判断逆命题的真假，即可得到正确答案．
【详解】解：选项A原命题为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和为，逆命题为：如果两个角的和为，那么这两个角互为邻补角，
∵和为的两个角不一定相邻，不一定是邻补角，
∴逆命题为假命题；
选项B原命题为：若，，则，逆命题为：若，则，，
∵当，时，，但，
∴逆命题为假命题；
选项C原命题为：全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，
∵边长不同的两个等边三角形，对应角相等，但不全等，
∴逆命题为假命题；
选项D原命题为：同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，
∵这是平行线的性质定理，命题成立，
∴逆命题为真命题．
7. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的平移规律，逆推即可得到点的坐标．
【详解】解：∵将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 ，
∴将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，
∴点的坐标为即．
8. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴．
9. 如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，证明，则的周长可转换为，将长度代入即可求解．
【详解】解：在中，， ，

由平移可知， ，


∴，
又∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∵，．
∴的周长为．
10. 如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】D
【解析】
【分析】分别寻找以为腰，以为底的等腰即可得到答案．
【详解】解；如图所示，一共有8个点C符合题意，
故选D．
本题主要考查了等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定是解题的关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形．
【答案】四
【解析】
【分析】任何多边形的外角和都是，再结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得：，
解得：，
故这个多边形是四边形．
12. 如图所示的图案是由6个相同的六边形组成，它可以看成是由其中一个六边形通过连续5次旋转形成的，则每次旋转的度数是______．
【答案】60
【解析】
【详解】解：，
故每次旋转的度数是．
13. 三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是________ 三角形（锐角、直角、钝角）
【答案】钝角
【解析】
【详解】解：因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角小于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于90°的角即钝角，则这个三角形就是一个钝角三角形．
故答案为：钝角
本题考查1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．
14. 某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题．
【答案】18
【解析】
【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得： ，
展开整理得
解得
的最小值为，即这个队至少答对了道题．
15. 如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°．
【答案】23
【解析】
【分析】根据证明可得，由三角形内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数．
【详解】解：∵，是的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，且，
∴，
∴，
又，
．
16. 如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米．
【答案】
【解析】
【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．
则，
由平移作图易得，，，
当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为．
由题意得，米，米，
米，米，
米，
的最短距离为米．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 已知：如图，．
求作：点，使点在的边的高线上，且到，两边的距离相等．
【答案】见解析
【解析】
【分析】作出的平分线，边上的高，交点即为点，根据角平分线的判定可得点到，两边的距离相等．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
四、解答题（本题共7小题，共68分）
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式：；
（2）解不等式：；
（3）解不等式组：；
（4）求不等式组的整数解．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）不等式组的整数解为，
【解析】
【小问1详解】
解：
移项得：，
合并同类项得，
系数化为1得；
【小问2详解】
解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得；
【小问3详解】
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为；
【小问4详解】
解：解不等式得，
解不等式得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，．
19. 已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先解方程得到，再根据方程的解为非负数得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得
方程的根是非负数，
解得．
20. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，点的坐标为，请按下列要求画图并填空．
（1）将线段绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的线段；
（2）平移线段，使点与点重合，则点的对应点的坐标为______；
（3）在（2）的平移过程中，平移的距离为______个单位长度；
（4）已知动点在轴上，当的周长最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意即可作图；
（2）先由点确定平移方式，再由平移方式求解点平移后的对应点的坐标；
（3）平移的距离即为对应点的连线段的长度，即可用勾股定理求解；
（4）由于是定值，那么的周长最小值即为的最小值，过点作轴的对称点，连接与轴的交点即为点，则，根据两点之间线段最短可得，此时最小，即为，故此时点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问2详解】
解：∵，点的坐标为，平移线段，使点与点重合，
∴点向左平移了个单位，向下平移了个单位，
∵，
∴点的对应点为，即；
【小问3详解】
解：∵，点的坐标为，
∴由勾股定理得，平移的距离为；
【小问4详解】
解：如图，点坐标为
21. 已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余，结合角平分线得到，再由对顶角相等证明即可；
（2）根据等腰三角形的判定与性质证明即可．
【小问1详解】
证明：
平分
又
【小问2详解】
解：由（1）知
为等腰三角形
又平分
22. 某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表：
（1）该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？
（2）该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？
【答案】（1）当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算
（2）选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算
【解析】
【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论；
（2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算．
【小问1详解】
解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元，
根据题意得：，，
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
当时，甲乙两商店一样合算，
当时，选择乙商店更合算，
当时，选择甲商店更合算；
【小问2详解】
解：当时，
可得：，，
，
到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算．
23. 【概念引入】我们约定：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引出一条射线，将直角分成两个锐角，这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中除直角外的两个内角的度数，那么我们把这条射线叫做这个直角三角形的和谐分割线．
（1）【初步理解】在中，是的和谐分割线，且与斜边交于点，则的形状为______；（只填写序号）
①等腰三角形；②直角三角形；③等腰三角形或直角三角形；
（2）【深入探究】在中，，，的和谐分割线交于点，若，则的长度为_____；
（3）【类比应用】在钝角中，是唯一最小的内角，且．是边上的动点（不与，重合），已知过顶点的线段将分成两个三角形，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的度数．
【答案】（1）③ （2）或
（3）所有满足条件的的度数为，，
【解析】
【分析】本题考查三角形的定义、分类和性质，特殊角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据分类讨论的思想解决问题．
（1）根据直角三角形的两个锐角分别等于分情况讨论，继而得出的形状.
（2）根据被分割形成的两个锐角分别等于分情况讨论，继而得出的长度.
（3）首先判断是钝角，根据和分别是等腰三角形和直角三角形分情况讨论，得出答案.
【小问1详解】
解：∵在中，是的和谐分割线，
情况一，如图所示，根据题意可得，，，
∴，
∴为等腰三角形，
情况二，如图所示，根据题意可得，，，
∵，
∴，
∴,
∴为直角三角形，
∴的形状为等腰三角形或直角三角形；
【小问2详解】
解：∵在中，，，
情况一，如图所示，根据题意可得，，，
∴,，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
情况二，如图所示，根据题意可得，，，
由（1）可知，，
∴，且,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，根据勾股定理可得：，
∴在中，根据勾股定理可得：，
∴的长度为或；
【小问3详解】
解：∵在钝角中，是唯一最小的内角，且，是边上的动点，
如图所示，若是钝角，则是锐角，是钝角三角形，
∴也是锐角，是钝角，
∴也是钝角三角形，
∴不满足题意，
∴是钝角，
情况一，如图所示，根据题意可得，是等腰三角形，是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
情况二，如图所示，根据题意可得，是直角三角形，是等腰三角形，，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
情况三，如图所示，根据题意可得，是直角三角形，是等腰三角形，
，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，所有满足条件的的度数为，，．
24. 【课本再现】如图1，在等边中，是边上一点，过点作的平行线；将绕点逆时针旋转，使点与点重合，点的对应点为．

（1）请在图1中画出；
（2）此时旋转角的度数为______；
（3）【类比迁移】如图2，在等边中，是边外一点，点与点在两旁，且，连接，延长到，使，连接，求证：；
（4）【拓展应用】在（3）的条件下，若，，则的长为_____．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点E，连接，则即为所求；由等边三角形的性质得到，由旋转的性质得到，则，即，则点E在直线l上；
（2）根据旋转的性质和等边三角形的性质可得答案；
（3）由等边三角形的性质得到，证明，则可证明，据此可证明；
（4）过点B作，交的延长线于点H，可证明是等边三角形，得到；可证明，得到，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，使点与点重合，
∴旋转角为；
【小问3详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小问4详解】
解：如图所示，过点B作，交的延长线于点H，
∵，
∴；
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
商店
优惠条件
甲商店
前件按原价销售，其余每件享受七折优惠
乙商店
每件均享受九折优惠