河南郑州市九校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南郑州市九校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共2页。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列地铁标志中，文字上方的图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均的文字上方图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键．
根据不等式的性质，逐项判定即可．
【详解】解：选项A：，，不符合题意；
选项B：，，不符合题意；
选项C：，，不符合题意；
选项D：，，符合题意；
故选：D．
3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：、符合因式分解的定义，原选项符合题意；
、是乘法运算，原选项不符合题意；
、中等号右边不是积的形式，原选项不符合题意；
、中是单项式，原选项不符合题意；
故选：．
4. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A. 有一个锐角大于B. 有一个锐角小于
C. 每一个锐角都大于D. 每一个锐角都小于
【答案】C
【解析】
【分析】反证法证明命题时，首先需要假设原结论不成立，即结论的反面成立，否定结论时需覆盖所有可能的反面情况．
【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论的反面成立，
∵原命题的结论为“至少有一个锐角小于或等于”，
“至少有一个满足条件”的反面为“所有锐角都不满足该条件”，
“小于或等于”的否定是“大于”，
∴应假设“每一个锐角都大于”．
5. 一个正多边形的一个内角是它相邻的外角的2倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用正多边形内角与相邻外角互补的关系，设未知数求出一个外角的度数，再根据任意多边形外角和为，即可计算得到正多边形的边数．
【详解】解：设正多边形的一个外角等于，则相邻的内角为，
根据题意，得，
解得，
∴这个正多边形的一个外角为，
边数为．
6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，点恰好落在边上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，根据旋转得到，，利用等腰三角形性质求出、、根据题意算出，利用，即可解题．
【详解】解：由旋转的性质，可知，，，
．
，
，
故选：B．
7. 有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄连接与河岸相交于一点，
过点作与相交于点，
连接，则即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．
8. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 我爱河南B. 爱河南C. 我爱学D. 河南数学
【答案】A
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息．
本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
∵ ，
又∵ ，
∴
，
∵对应密码字：我， 爱，河，南，
∴密码信息为“我爱河南”，
故选：A．
9. 某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于，设打x折销售，则下列说法正确的是（ ）
A. 依题意可得B. 依题意可得
C. 该商品最多打8折D. 该商品最多打9折
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式在商品折扣利润中的应用，掌握折扣的公式是解决本题的关键．
根据题意，利润率为进价的，即利润，打折后的售价为标价×折扣率（x折即），由此建立不等式求解即可．
【详解】解：设打x折销售，则售价为元，
根据题意，利润不低于进价的，
即：，A，B选项错误；
化简得：
解得：
因此，最多打8折，C选项正确，D选项错误．
故选：C．
10. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可．
【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，，
∴，
∴的周长为；
故选B
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，逆命题为“如果，那么”，举反例时，但．
【详解】解：原命题的逆命题是“如果，那么”．当时，，但，所以逆命题是假命题．
故答案为：．
12. 请你写出一个符合下列三个条件的不等式组：
（1）它的解集中的数均为非负数；
（2）有一个不等式的解集是；
（3）有一个不等式在求解时要改变不等号的方向．
你写的不等式组是_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：根据题意写出满足三个条件的不等式组，如：，
经验证：它的解集为，解集中的数均为非负数；第一个不等式的解集是；第一个不等式在求解时要改变不等号的方向，即所举例子满足题中的三个条件，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果．
【详解】解：连接，如图所示，
∵平分平分，
∴平分，
∴，
由平移得，
，
，
，
同理可得；
∴的周长，
即图中阴影部分的周长为 8 ；
故答案为：8．
14. 某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出，再根据游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准即可得到答案．
【详解】解：当时，，解得，
∴
∵当游离氯浓度不低于甲泵密注时，水质符合卫生标准，此时，
∵根据题意，结果取最大整数，
∴游泳池最多可连续开放天．
15. 在矩形中，，．点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情形：如图1中，当，过点D作于点J．证明，可得结论．如图2中，当时，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【详解】如图1中，当，过点D作于点J．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图2中，当时，
设，则，
∴，
∴．
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
.
【小问2详解】
解：
.
17. 请认真阅读并解答问题．
解不等式：．
解：去分母，得．……第一步
去括号，得．……第二步
移项、合并同类项，得．……第三步
两边都除以，得．……第四步
（1）填空：第_____步有错误，这一步错误的原因是_____．
（2）请直接写出该不等式的正确解集，并用数轴表示其解集．
（3）在解一元一次不等式时，除了要注意在上题解法中的错误外，还需要注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条易错警示．
【答案】（1）四；不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变
（2），见解析
（3）去分母时，要每一项都乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的求解：
（1）不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变，因此第四步有错误；
（2）根据不等式两边同时除以负数，不等号的方向发生改变来求解；
（3）根据平时的学习经验即可．
【小问1详解】
解：四；不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变．
【小问2详解】
解：
．
用数轴表示其解集：
【小问3详解】
解：去分母时，要每一项都乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．
（1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出，并写出点的坐标_______；
（2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标_______．
【答案】（1）图见详解，
（2）图见详解，
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平移规律找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答．
（2）根据旋转性质找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
∴点的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示：
点的坐标为．
故答案为：．
19. 如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理：
（1）先判断三角形的类型，再寻找全等条件即可；
（2）先得到，再用勾股定理求，利用全等判定是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可计算．
【小问1详解】
证明：，
与都是直角三角形，
在Rt和Rt中，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
在Rt中，
由（1）可知
是等腰三角形
．
20. 请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧”
（1）受上述方法启发，尝试分解；
（2）类比问题（1）尝试分解；
（3）小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因．
【答案】（1）
（2）
（3）正确；举例见解析；一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式
【解析】
【分析】本题考查了因式分解：
（1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解；
（2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解；
（3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将x4+4n22按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可．
【小问1详解】
解：x4+64
．
【小问2详解】
解：
=x4+4x2y2+4y4−4x2y2
．
【小问3详解】
解：正确；
举例：当完全平方数为时，
x4+4×92
=x4+324
=x4+36x2+324−36x2
=x2+182−6x2
=x2+6x+18x2−6x+18，
一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则，
x4+4n22
=x4+2n22+4x2n2−4x2n2
，
因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式．
21. 如图，在中，，，点在上，且，点在的延长线上，且．
（1）求的度数；
（2）如果把题目中“”的条件去掉，其他条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）不改变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出和的度数，再分别求出和，进而得到的度数；
（2）设，利用三角形的内角和外角的性质，将和用含的数字表示，进而证明的度数是定值．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【小问2详解】
解：不改变；
设，
，
，
，
在中，，
，
又，
，
．
22. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式，详情见下表：
（注：不足一个小时的按一小时计算）
（1）小明打算这周六去文体中心活动5小时，最少需要花费_____元；
（2）小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且），对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？
【答案】（1）25 （2）当时，选择普通卡更划算；当时，选择普通卡或会员卡都一样；当时，选择会员卡更划算
【解析】
【分析】（1）分别计算出三种收费方式下活动5小时的费用，然后比较大小，得出最少花费；
（2）根据会员卡和普通卡各自的收费规则，分别列出一个月的费用代数式，通过比较这两个代数式的大小关系，分情况讨论在不同活动时长下哪种收费方式更划算即可．
【小问1详解】
解：分别计算三种收费方式的花费：
日卡：30元；
会员卡：元；
普通卡：元；
，
最少需要花费25元．
【小问2详解】
解：设使用会员卡所收费用为元，使用普通卡所收费用为元，
则，
当时，则，即，
当时，则时，即，
当时，则时，即，
综上所述，当时，选择普通卡更划算；当时，选择普通卡或会员卡都一样；当时，选择会员卡更划算．
23. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，，再由等边三角形的性质与判定得，，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可；
（2）将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，由旋转的性质和等量代换得，从而证得，得，，证得，得，即可得证；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，是等边三角形，得，进而得，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，，，，
∵是等边三角形，
，
，即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点C、O、、在一条直线上，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
收费方式
详细介绍
日卡
日卡一张30元（当天不限制文体活动时间）
会员卡
办卡需210元，每活动1小时收费4元
普通卡
进入文体中心要收取10元/日，可免费进行文体活动2小时，超过2小时后每小时需收费5元