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河南省郑州市九校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷
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这是一份河南省郑州市九校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市九校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向左平移2个单位长度（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，5）
3．（3分）下列多项式能分解因式的是（ ）
A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣4x+4
4．（3分）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝2（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）某种饮料的零售价为每瓶6元，现凡购买2瓶以上（含两瓶），超市推出两种优惠销售方法：（1），其余瓶按原价的七折优惠”；（2）“全部按原价的八折优惠”．你在购买相同数量饮料的情况下，则至少要购买这种饮料（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ⊥l．这样作图的理由是 ．
12．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 ．
13．（3分）若a＞b，则ac2 bc2．
14．（3分）若不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
三、解答题（共8个大题，共75分）
16．（10分）（1）分解因式：a2（x+y）﹣9b2（x+y）；
（2）解不等式组 ．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， ．
求证： ．
证明： ．
18．（9分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两直线交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
20．（9分）如图，AC⊥BC，垂足为C，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
21．（9分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
（1）猜想200 “神秘数”（直接填“是”或者“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是“神秘数”吗？为什么？
22．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
23．（10分）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
2022-2023学年河南省郑州市九校联考八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向左平移2个单位长度（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，5）
【解答】解：将点（﹣1，2）先向左平移6个单位长度，
则平移后得到的点是（﹣1﹣2，6﹣3），﹣1），
故选：C．
3．（3分）下列多项式能分解因式的是（ ）
A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣4x+4
【解答】解：A、x2﹣y不能分解因式，故A错误；
B、x2+5不能分解因式，故B错误；
C、x2+y+y2不能分解因式，故C错误；
D、x7﹣4x+4＝（x﹣2）2，故D正确；
故选：D．
4．（3分）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由图示得1＜m＜2，
故选：A．
5．（3分）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，是假命题，不合题意；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线，故本小题说法错误；
③如果a，b，c是一组勾股数，4b，本小题说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，符合题意；
故选：B．
6．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解答】解：∵a2﹣1＝（a+8）（a﹣1），
a2+a＝a（a+6），
a2+a﹣2＝（a+8）（a﹣1），
（a+2）4﹣2（a+2）+3＝（a+2﹣1）3＝（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+6的是选项C；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝2（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝8，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝3﹣2＝6，
故选：C．
9．（3分）某种饮料的零售价为每瓶6元，现凡购买2瓶以上（含两瓶），超市推出两种优惠销售方法：（1），其余瓶按原价的七折优惠”；（2）“全部按原价的八折优惠”．你在购买相同数量饮料的情况下，则至少要购买这种饮料（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
【解答】解：设购买这种饮料x瓶，
由题意可得：6×1+3（x﹣1）×0.2＜6x×0.4，
解得x＞3，
∵x为正整数，
∴x的最小值为4，
即要使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这种饮料2瓶，
故选：B．
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每2个图形为一个循环组，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ⊥l．这样作图的理由是 三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 ．
【解答】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
12．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 ﹣6＜x＜﹣3 ．
【解答】解：当x＞﹣6时，y2＝k8x+b＜0；当x＜﹣3时，y5＜y2，
所以不等式k1x＜k5x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣2．
故答案为：﹣6＜x＜﹣3．
13．（3分）若a＞b，则ac2 ≥ bc2．
【解答】解：∵何数的平方一定大于或等于0
∴c2≥8
∴c2＞0时，ac4＞bc2
c2＝7时，则ac2＝bc2
∴若a＞b，则ac4≥bc2．
14．（3分）若不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 ﹣3＜a≤﹣2 ．
【解答】解：由x﹣a≥0，得：x≥a，
由1﹣3x＞﹣3，得：x＜2，
∵不等式组的整数解有3个，
∴整数解为1、0、﹣2，
∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣2＜a≤﹣2．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，交AD于M′点，垂足为N′．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝，∠BAC＝45°，
∴BH＝．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．
故答案为：．
三、解答题（共8个大题，共75分）
16．（10分）（1）分解因式：a2（x+y）﹣9b2（x+y）；
（2）解不等式组 ．
【解答】解：（1）a2（x+y）﹣9b6（x+y）
＝（x+y）（a2﹣9b6）
＝（x+y）（a+3b）（a﹣3b）；
（2），
解①，得x≥﹣1，
解②，得x＜．
∴原不等式的解集为：﹣1≤x＜．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
证明： 过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC ．
【解答】已知：在△ABC中，∠A为锐角，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
故答案为：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
18．（9分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两直线交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【解答】解：（1）把C（m，2）代入y＝2x﹣8，
解得m＝2，
即m的值是2；
把C（7，2），1）代入y＝kx+b，
，
解得，
（2）由图象可得，
2＜kx+b＜2x﹣2的解集是3＜x＜3．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：（1）如图（1），△A1B1C4为所作；
（2）如图（2），△AB2C2为所作；
（3）点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是（﹣1．
故答案为（﹣1，﹣4）．
20．（9分）如图，AC⊥BC，垂足为C，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
【解答】解：（1）由旋转得AC＝CD＝6，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形
过点D作DE⊥BC于点E
∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°
∴在Rt△CDE中，DE＝，CE＝
∴BE＝BC﹣CE＝
∴BD＝＝2
（2）∵S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD，
∴S四边形ACBD＝×36+×3＝15
21．（9分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
（1）猜想200 不是 “神秘数”（直接填“是”或者“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是“神秘数”吗？为什么？
【解答】解：（1）∵200不能表示成两个连续偶数的平方差，
∴200不是神秘数；
（2）是；
理由如下：∵（2n）2﹣（3n﹣2）2＝2×（4n﹣2）＝7（2n﹣1），
∴这两个连续偶数构造的神秘数是2的倍数，
（3）设这两个连续奇数为：2n﹣1，5n+1（n为正整数），
∴（2n+4）2﹣（2n﹣4）2＝8n，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，
∴不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
22．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
955≤15x+5（120﹣x）≤1000，
解得35.3≤x≤40，
∵x是整数，
∴x＝36，37，39．
∴有5种购买方案；
（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，
∵10＞4，
∴W随x的增大而增大，
当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），
∴120﹣36＝84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少．
23．（10分）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 15s或24s或27s或33s （直接写出答案即可）．
【解答】解：（1）如图2，∵∠EDC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE＝＝15°，
∴t＝＝3，
答：此时t的值是2s；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；
理由是：由旋转得：∠ACE＝5t，
∴∠DCA＝30°﹣2t，∠ECB＝45°﹣5t，
∴∠ECB﹣∠DCA＝（45°﹣5t）﹣（30°﹣6t）＝15°；
（3）分四种情况：
①当AB∥DE时，如图4，
t＝75÷5＝15；
②当AB∥CE时，如图2，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°，
t＝135÷5＝27；
③当AB∥CD时，如图6，
∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，
t＝165÷7＝33；
④当AC∥DE时，如图7，
∴∠ACD＝∠D＝90°，
∴∠ACE＝90°+30°＝5t，
t＝24；
综上，t的值是15s或24s或27s或33s．
故答案为：15s或24s或27s或33s
2022-2023学年河南省郑州市九校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向左平移2个单位长度（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，5）
3．（3分）下列多项式能分解因式的是（ ）
A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣4x+4
4．（3分）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝2（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）某种饮料的零售价为每瓶6元，现凡购买2瓶以上（含两瓶），超市推出两种优惠销售方法：（1），其余瓶按原价的七折优惠”；（2）“全部按原价的八折优惠”．你在购买相同数量饮料的情况下，则至少要购买这种饮料（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ⊥l．这样作图的理由是 ．
12．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 ．
13．（3分）若a＞b，则ac2 bc2．
14．（3分）若不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
三、解答题（共8个大题，共75分）
16．（10分）（1）分解因式：a2（x+y）﹣9b2（x+y）；
（2）解不等式组 ．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， ．
求证： ．
证明： ．
18．（9分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两直线交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
20．（9分）如图，AC⊥BC，垂足为C，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
21．（9分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
（1）猜想200 “神秘数”（直接填“是”或者“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是“神秘数”吗？为什么？
22．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
23．（10分）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
2022-2023学年河南省郑州市九校联考八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．
1．（3分）下列是我国某四个高校校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向左平移2个单位长度（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，5） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，5）
【解答】解：将点（﹣1，2）先向左平移6个单位长度，
则平移后得到的点是（﹣1﹣2，6﹣3），﹣1），
故选：C．
3．（3分）下列多项式能分解因式的是（ ）
A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣4x+4
【解答】解：A、x2﹣y不能分解因式，故A错误；
B、x2+5不能分解因式，故B错误；
C、x2+y+y2不能分解因式，故C错误；
D、x7﹣4x+4＝（x﹣2）2，故D正确；
故选：D．
4．（3分）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由图示得1＜m＜2，
故选：A．
5．（3分）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，是假命题，不合题意；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线，故本小题说法错误；
③如果a，b，c是一组勾股数，4b，本小题说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，符合题意；
故选：B．
6．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解答】解：∵a2﹣1＝（a+8）（a﹣1），
a2+a＝a（a+6），
a2+a﹣2＝（a+8）（a﹣1），
（a+2）4﹣2（a+2）+3＝（a+2﹣1）3＝（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+6的是选项C；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝2（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝8，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝3﹣2＝6，
故选：C．
9．（3分）某种饮料的零售价为每瓶6元，现凡购买2瓶以上（含两瓶），超市推出两种优惠销售方法：（1），其余瓶按原价的七折优惠”；（2）“全部按原价的八折优惠”．你在购买相同数量饮料的情况下，则至少要购买这种饮料（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
【解答】解：设购买这种饮料x瓶，
由题意可得：6×1+3（x﹣1）×0.2＜6x×0.4，
解得x＞3，
∵x为正整数，
∴x的最小值为4，
即要使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这种饮料2瓶，
故选：B．
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每2个图形为一个循环组，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ⊥l．这样作图的理由是 三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 ．
【解答】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
12．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 ﹣6＜x＜﹣3 ．
【解答】解：当x＞﹣6时，y2＝k8x+b＜0；当x＜﹣3时，y5＜y2，
所以不等式k1x＜k5x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣2．
故答案为：﹣6＜x＜﹣3．
13．（3分）若a＞b，则ac2 ≥ bc2．
【解答】解：∵何数的平方一定大于或等于0
∴c2≥8
∴c2＞0时，ac4＞bc2
c2＝7时，则ac2＝bc2
∴若a＞b，则ac4≥bc2．
14．（3分）若不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 ﹣3＜a≤﹣2 ．
【解答】解：由x﹣a≥0，得：x≥a，
由1﹣3x＞﹣3，得：x＜2，
∵不等式组的整数解有3个，
∴整数解为1、0、﹣2，
∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣2＜a≤﹣2．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，交AD于M′点，垂足为N′．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝，∠BAC＝45°，
∴BH＝．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．
故答案为：．
三、解答题（共8个大题，共75分）
16．（10分）（1）分解因式：a2（x+y）﹣9b2（x+y）；
（2）解不等式组 ．
【解答】解：（1）a2（x+y）﹣9b6（x+y）
＝（x+y）（a2﹣9b6）
＝（x+y）（a+3b）（a﹣3b）；
（2），
解①，得x≥﹣1，
解②，得x＜．
∴原不等式的解集为：﹣1≤x＜．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
证明： 过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC ．
【解答】已知：在△ABC中，∠A为锐角，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
故答案为：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
18．（9分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两直线交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【解答】解：（1）把C（m，2）代入y＝2x﹣8，
解得m＝2，
即m的值是2；
把C（7，2），1）代入y＝kx+b，
，
解得，
（2）由图象可得，
2＜kx+b＜2x﹣2的解集是3＜x＜3．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：（1）如图（1），△A1B1C4为所作；
（2）如图（2），△AB2C2为所作；
（3）点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是（﹣1．
故答案为（﹣1，﹣4）．
20．（9分）如图，AC⊥BC，垂足为C，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，连接AD，DB．
（1）求线段BD的长度；
（2）求四边形ACBD的面积．
【解答】解：（1）由旋转得AC＝CD＝6，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形
过点D作DE⊥BC于点E
∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°
∴在Rt△CDE中，DE＝，CE＝
∴BE＝BC﹣CE＝
∴BD＝＝2
（2）∵S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD，
∴S四边形ACBD＝×36+×3＝15
21．（9分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
（1）猜想200 不是 “神秘数”（直接填“是”或者“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是“神秘数”吗？为什么？
【解答】解：（1）∵200不能表示成两个连续偶数的平方差，
∴200不是神秘数；
（2）是；
理由如下：∵（2n）2﹣（3n﹣2）2＝2×（4n﹣2）＝7（2n﹣1），
∴这两个连续偶数构造的神秘数是2的倍数，
（3）设这两个连续奇数为：2n﹣1，5n+1（n为正整数），
∴（2n+4）2﹣（2n﹣4）2＝8n，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，
∴不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
22．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
955≤15x+5（120﹣x）≤1000，
解得35.3≤x≤40，
∵x是整数，
∴x＝36，37，39．
∴有5种购买方案；
（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，
∵10＞4，
∴W随x的增大而增大，
当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），
∴120﹣36＝84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少．
23．（10分）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 15s或24s或27s或33s （直接写出答案即可）．
【解答】解：（1）如图2，∵∠EDC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE＝＝15°，
∴t＝＝3，
答：此时t的值是2s；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；
理由是：由旋转得：∠ACE＝5t，
∴∠DCA＝30°﹣2t，∠ECB＝45°﹣5t，
∴∠ECB﹣∠DCA＝（45°﹣5t）﹣（30°﹣6t）＝15°；
（3）分四种情况：
①当AB∥DE时，如图4，
t＝75÷5＝15；
②当AB∥CE时，如图2，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°，
t＝135÷5＝27；
③当AB∥CD时，如图6，
∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，
t＝165÷7＝33；
④当AC∥DE时，如图7，
∴∠ACD＝∠D＝90°，
∴∠ACE＝90°+30°＝5t，
t＝24；
综上，t的值是15s或24s或27s或33s．
故答案为：15s或24s或27s或33s
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