河南省郑州市九校联考2025-2026学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市九校联考2025-2026学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共6页。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A. 不变B. 减少C. 减少D. 增加
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵，
∴减少时，减少.
2. 华为Mate60系列搭载了自家研发的麒麟9000S处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性能更加强大，功耗更低，这一举措突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁．已知，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：用科学记数法表示为．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项的法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
4. 以下说法合理的是（ ）
A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖
B. 小明做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是
D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了5次，其中有2次正面朝上，3次正面朝下，由此他说硬币正面朝上的概率是
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率的定义和随机事件的性质，逐一判断各选项即可得出结论．
【详解】解：A选项：概率表示事件发生的可能性大小，不代表必然发生，中奖概率为时，买100张彩票是随机事件，不一定有5张中奖，原说法不合理，不符合题意；
B选项：均匀硬币每次抛掷，正面朝上和反面朝上是等可能事件，且前次试验不影响下一次抛掷的概率，因此再掷一次正面朝上的概率仍为，原说法合理，符合题意；
C选项：射击的中靶与不中靶不是等可能事件，两种结果发生的概率不相等，因此击中靶的概率不是，原说法不合理，不符合题意；
D选项：概率是事件固有的属性，试验次数较少时，频率不能等同于概率，质地均匀的硬币正面朝上的概率固定为，原说法不合理，不符合题意；
5. 如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2．
【详解】解：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=120°，
故选：D．
本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．
6. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
A. 图①B. 图②C. 图③D. 图④
【答案】A
【解析】
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：图①，∠α+∠β=180°﹣90° 互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
7. 如图，下列条件中，能判断的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：，
，
故A选项不符合题意；
，不能判定，
故B选项不符合题意；
，
，
故C选项符合题意；
，
，
故D选项不符合题意；
故选：C．
8. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ）
A. 到三个顶点距离相等的点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答.
【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点，
∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点.
9. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．用两种方式表示较大正方形的面积即可得解。
【详解】观察图形可得从整体来看（等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为和的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次．
∴根据图②能得到的数学公式是：．
故选D．
10. [新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（ ）
A. B. 8C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可．
【详解】解：∵多项式除以，商式为余3，
∴，
，
∴，解得：，
∴．即A选项符合题意．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
12. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是_______．
【答案】黄球
【解析】
【分析】先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解．
【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个），
∴黑球出现的概率为：，
白球出现的概率为：，
黄球出现的概率为：，
红球出现的概率为：，
∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右，
∴该种球的颜色最有可能是黄球．
13. 如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为________．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为．
14. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证________°．
【答案】110
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数．
【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，
依题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：110．
15. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠，如图2所示，再沿折痕折叠，如图3所示，则图3中的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：
图2中，，，
图3中， ．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）（用乘法公式计算）．
【答案】（1）12mn
（2）1
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
【答案】；-16
【解析】
【分析】原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 将下面的推理过程及依据补充完整．
如图，点在上，点在上，，，请说明．
证明：（已知），
（ ），
（ ）．
___________（ ）
___________（ ）
又（已知），
（等量代换）．
___________（ ）
（ ）．
【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【详解】证明：（已知）
（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
19. 如图，点是的边上的一点．
（1）过点画的平行线；
（2）过点画的垂线，垂足为；
（3）过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）作图见解析；；垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键．
（1）取格点N，连接，根据格点特点可得；
（2）根据题意作图即可；
（3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，即为所求作的的垂线；
∵垂线段最短，
∴，，
∴．
20. 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若，交于点，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（）根据三角形内角和定理即可求解；
（）由平行线的性质可得，进而由三角形内角和定理可得，据此即可判断求解；
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由如下：
∵，
，
由（1）得，
，
为直角三角形．
21. 小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下：
①两人各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子；
②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0；
③比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜．
在一次游戏中，小颖连续掷两次，掷出的点数分别是1，4．小明也是连续掷两次，掷出的点数分别是3，5．请问：
（1）如果小颖继续掷，那么点数和不超过10的概率是 ；
（2）如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明）
【答案】（1）
（2）停止掷，见解析
【解析】
【分析】（1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率；
（2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题．
【小问1详解】
解：由题可知：小颖已掷出的点数和为，
再掷一次，只有掷出6点时，其点数和才会超过10，
小颖继续掷，点数和不超过的概率是；
【小问2详解】
解：停止掷；理由如下：
小明前两次掷出的点数和是，
若再掷一次，点数为1，2时，得分为9或10，
∴（小明得分9或10）；
点数为3，4，5，6时．得分为0，
∴（小明得分0）．
，
∴停止掷．
22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分的面积可表示为，图2中阴影部分的面积可表示为，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【拓展探究】图3是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图4．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分的面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由（1）可得到一个关于的等量关系式是 ；
（3）若，则 ；
（4）【知识迁移】如图5，正方形和正方形的边长分别为，若，为的中点，则图中阴影部分的面积和是 ．
【答案】（1），
（2）
（3）24 （4）10
【解析】
【分析】（1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积；
（2）根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（3）根据完全平方公式变形求值即可求解．
（4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【小问1详解】
解：方法，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得：；
方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：；
【小问2详解】
解：依题意得：；
【小问3详解】
解：，，
；
【小问4详解】
解：阴影部分面积等于
，
，，
，
阴影部分面积等于．
23. 如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
（1）填空： ， ；
（2）如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，若恰好是的，求的值；
（3）如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）120，90
（2）
（3）存在，的值为或30
【解析】
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）用含n的式子表示出旋转后和的度数，根据恰好是的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【小问1详解】
解：由题意，得：，，
∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得，旋转后，
∵旋转后恰好是的，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：由题意，得：，；
如图所示，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图所示，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或30．