8.2三角形的内角和与外角和（第1课时）-课件 2025-2026学年华东师大版（2024）七年级数学下册

这是一份初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）三角形的内角和与外角和教学演示课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了一情境导入，二新知探究，能力提升，在△ABC中，几何语言，x60，x30，x50，特殊三角形，三典例解析等内容，欢迎下载使用。
小学时研究三角形内角和用了什么方法吗？三角形的内角和到底是多少度呢？
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
1. 回忆旧知，提出猜想
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
还有其他的拼接方法吗？
拿出三角形纸片，用剪拼法再验证一次，说说你是怎么拼接的，过程中有什么失误点
从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？能不能借助一些几何图形的性质，来证明三角形的内角和是180°？
2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证
已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，所以 ∠A =∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠B =∠2.(两直线平行，同位角相等)又因为∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，所以 ∠A +∠B +∠ACB = 180°.
证法2：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1．(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2．(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°．
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.所以∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A +∠AED = 180°，∠AED +∠EDF = 180°(两直线平行，同旁内角相补).所以 ∠A = ∠EDF.因为∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，所以 ∠C +∠A +∠B = 180°.
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心思想是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
同学们还有其他的方法吗？
证法4：过点A作AE∥BC， ∴∠B=∠1．(两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠C=180°．(两直线平行,同旁内角互补) ∵∠BAC+∠1=∠EAC∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)
试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
3.几何画板动态演示 验证一般性
∴∠A+∠B+∠C=180°
三角形三个内角的和等于180°
4.总结三角形内角和定理：
1.求出下列各图中的x值．
x°=180°-70°-40°=70°
等边三角形，每个内角60°
直角三角板的角之间有怎么的特殊数量关系？
由三角形的内角和等于180°，得 ∠A + ∠B+∠C=180°由此可以推出 ∠A + ∠B=180°-∠C =90°即∠A与∠B互余
5.直角三角形内角的数量关系
思考：在直角三角形ABC 中，∠C=90°∠A与∠B有什么关系？
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC
表示方法：在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．　
这就是说，直角三角形的两个锐角互余
例1 AD是△ABC的边 BC上的高，∠1=45°，∠C =65°.求∠BAC的度数
解： 在Rt△ABD 中∵∠1+∠B =90°(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠B = 90°- ∠1= 90°-45°= 45°(等式性质).
在△ABC中∠B +∠C+∠BAC =180°(三角形的内角和等于180°)∴∠BAC = 180°-∠B -∠C= 180°-45°-65°= 70°
方法总结已知两角求第三角用内角和定理；遇到直角三角形，可先利用“锐角互余”简化计算。
易错点：容易混淆角的位置，比如误把∠1当成∠BAC的一部分，计算时要注意对应关系。
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
两个角互余的三角形是直角三角形
由三角形内角和等于180°，容易得出下面的结论：
1.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=______。
在左边的小三角形中，∠1+∠2=180°-40°=140°；在右边的小三角形中，∠3+∠4=180°-40°=140°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°。
2.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B，求∠A、∠B和∠C的度数。
解答：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=80°，所以∠C=180°-80°=100°。又因为∠C=2∠B，所以∠B=100°÷2=50°，∠A=80°-50°=30°。
3.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°，求△ABC的各内角的度数。
解答：设∠A=x，则∠B=x+30°，∠C=x+30°+30°=x+60°。因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+(x+30°)+(x+60°)=180°，3x+90°=180°，3x=90°，x=30°。所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
4.如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.∴∠CFD＝∠AFE＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
建筑工人在安装三角形屋顶支架时，已知其中两个角分别是30°和60°，请你利用三角形内角和定理，说明这个支架的形状，并解释为什么这样的支架更稳固。
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