2026年上海市宝山区初三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市宝山区初三下学期二模数学试卷和答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．）
下列实数中，最小的数是（ ）
5
B．5C． 1
5
D．0
若a  b ，则下列式子正确的是（ ）
2a  2b
C． 2  a  2  b
1 a  1 b
22
D． a  2  b  2
下列关系式中，y 是 x 的反比例函数的是（ ）
y  x
2
y  4
x
x2
y 
3
y 
1
x  1
如图， ABC  30，点 O 为射线 BC 上一点， BO  8 ，如果O 是以点 O 为圆心，半径为 3 的圆，那么O 与直线 BA 的位置关系是（ ）
相离B．相切C．相交D．不能确定
如图，在RtABC 中， C  90 ，点 D 为 AB 边的中点，沿着过点 D 的某条直线将ABC 剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
种B．2 种C．3 种D．4 种
2
如图，在矩形 ABCD 中， AB  1， AD  2
， BD 为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以
点 B、D 为圆心，以大于 1 BD的长为半径作弧，两弧相交于两点 M、N；②连接 MN 交 AD 于点 G，交 BC
2
于点 E，交 BD 于点 O；③以点 O 为圆心，以OG 的长为半径作弧，交 BD 于点 H、F；那么线段GF 的长是（ ）
A
． 1B． 2
23
C． 3
4
D．1
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）（请将结果直接填入答题纸的相应位置上，超出答题区域书写的答案无效）
实数8 的立方根是．
因式分解： 9a2 1  ．
3x 1
方程＝4 的根是．
10．计算：
1
a2  4
 a．
a  2
11．已知关于 x 的方程x2  6x  m  0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是．
12．2025 年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超 6000 家，核心产业规模预计突破 1.2 万亿元，将数据 1.2 万亿元用科学记数法表示为元．
已知一次函数经过点0,1 且 y 随 x 增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：．
在一个不透明的袋子里装有 5 个绿球、2 个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.3，则
袋中红球的个数是．


如图，在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E， AD  2 AB ，设 AD  a ， AB  b ，那么用向量a 、

b 表示向量 BE 是．
如图，正六边形 ABCDEF 是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是 2，那么正六边形 ABCDEF 的边心距是．
如图，在矩形 ABCD 中，将△BCD 绕点 B 旋转至△BCD 的位置，点 D¢在 BA 的延长线上， AD 与 BC
交于点 E，如果 AE  4 ， DE  5 ，那么四边形 AECD的面积是．
定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形 ABC 是“等接圆三角形”，那么ABC 的面积与其外接圆面积的比值是．（保留 π ）
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
11 1 20
5  2
计算：
 273   
 2 
 π  3.14

3 x  2  2x  4①

解关于 x 的不等式组：  x  x  3 1②
 42
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y  2 与直线 y  x  k 交于点 A1, n 、点 B，点 C 和点 A
x
关于原点对称．
求 k 与 n 的值；
求tanBAC 的值．
某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A 唱歌、B 舞蹈、C 器乐、D 戏剧、E 其他”几个表演类别．图 1、图 2 是每类表演报名人数的不完整统计图．
扇形统计图中“B 舞蹈”所在扇形的圆心角度数为°；
本次大赛总共报名人，请补全条形统计图；
甲
8
6
7
6
7
9
6
乙
8
4
8
9
8
9
3
平均数
中位数
方差
甲
a
7
8
7
乙
7
b
c
才艺大赛当天由 7 名学生代表作为评审进行打分（满分 10 分），甲、乙两位同学在“A 唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
①表中的数据： a  ， b  ， c  ；
②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
如图，已知梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AD  BC ，对角线 AC 与 BD 交于点 E，将△ABD 沿着直线 AB
翻折得到△ABF （点 D 对应点 F）．
求证：四边形 AFBC 是平行四边形；
如果四边形 AFBC 是矩形，且 AD  DE ，求证： AB  2CD ．
ABBE
【问题背景】
图 1 是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．
【数据测量】
图 2 是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线 L 和下方的矩形 ABCD 组成，矩形 ABCD 的边 BC  4m， CD  1m ，E 是抛物线 L 的顶点，且点 E 到 BC 的距离为3m，矩形 FGMN 的边 FN、MN、MG 为支撑架的架骨，点 F、G 在边 BC 上，点 M、N 在抛物线 L 上．
【问题解决】
如图 3，工程队以矩形 ABCD 的顶点 B 为原点，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 AB 边所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．
求顶点 E 的坐标及抛物线 L 的函数表达式；
当支撑架 FGMN 为正方形时，求架骨 MN 的长；
为满足宽为2.4m ，高为1.9m 的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m
的安全距离），求此时 BF 的取值范围．
如图 1， AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点， CP 是O 的切线，P 为切点，连接 BP 、OP ．
求证： CP2  AC  BC ；
如图 2，过点 B 作 BD∥OP 交O 于 D，
5
①如果 BD  18 ， BP  6
，求CP 的长；
②连接CD 、 DP ，如果△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，求 BC 的值．
CP
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．C
6．C
7． 2
8． 3a 13a 1
9． x  5
1
10． a a  2
m  9
1.2 1012
y  x 1（答案不唯一）
14．3
1 
15．
a  b
2
3
16． 2
17．15
18． 2 
3 或 2  3
44
5
19．
20． 2  x  2
21．(1)k 的值为 1，n 的值为 2 (2) 1
3
22．(1)90
160，补全条形统计图如下：
①7；8； 36
7
②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分
多，甲的方差小，说明成绩更加稳定
23．(1)证明略 (2)证明略
24．(1) E 2, 3 ；抛物线 L 的表达式为 y   1  x  22  3
2
2
 4m
2
2  BF  0.7
10
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ CD  AB 1m ，
∴ A 0,1 ，
∵矿洞横截面是轴对称图形， BC  4m，点 E 到 BC 的距离为3m，
∴顶点 E 2, 3 ，
设抛物线 L 的表达式为 y  a  x  22  3，代入 A 0,1 得， 4a  3  1，
解得 a   1 ，
2
∴抛物线 L 的表达式为 y   1  x  22  3 ；
2
设正方形 FGMN 的边长为2m ，则 FN  FG  2m ，根据对称性可得， OF  2  m ，
∴ N 2  m, 2m ，
将点 N 2  m, 2m 代入 y   1  x  22  3 得，  1 2  m  22  3  2m ，
22
10
10
解得 m1  2 ， m2   2 （舍去），
∴正方形边长为2
4 ，即架骨 MN 的长为2
4m；
10
10
∵矿车距离上方预留0.1m的安全距离，
∴把 y  1.9  0.1  2 代入 y   1  x  22  3 ，
2
则 1  x  22  3  2 ，
2
解得 x1  2 
2, x2  2 
2 （舍去），
2
∴此时 BF  2 ，
∵两侧支撑架需预留0.1m的安全距离，
∴此时 BF  4  2.4  0.1 2  0.7 ，
2
2
∴为满足宽为2.4m ，高为1.9m 的矿车能够在支撑架内通行， 2  BF  0.7 ．
25．(1)证明略 (2)①20 ② 3
3
解：（1）证明：连接 AP ，
∵ AB 是O 的直径，
∴ APB  90，
∴ A  ABP  90，
∵ CP 是O 的切线，P 为切点，
∴ OP  PC ，
∴ OPB  CPB  90 ，
∵ OB  OP ，
∴ OPB  ABP ，
∴ A  CPB ，又∵ C  C ，
∴CPB ∽CAP ，
∴ CP  AC ，
CBCP
∴ CP2  AC  BC ；
（2）①作OH  BD 于点 H ，作 BG  OP 于点G ，则 BH 
1 BD  9 ，
2
∵ OP∥ BD ，
∴ BG  BD ，
∴四边形OGBH 为矩形，
∴ OH  BG ， OG  BH  9 ，
设O 的半径为r ，则OP  OB  r ，
∴ PG  OP  OG  r  9 ，
在Rt△OBH 中，由勾股定理得OH 2  OB2  BH 2  r2 9 2，
在Rt△BGP 中，由勾股定理得 BG2  BP2  PG2  6 5 2  r  92 ，
∵ OH  BG ，
∴ r2  92  6 5 2 r  92 ，解得 r  15 或r  6 （舍去）；
152  92
∴ BG  OH  12 ，
∵ BG  OP, OP  PC ，
∴ BG∥CP ，
∴OGB∽OPC ，
∴ PC  OP ，即 PC  15 ，
BGOG129
∴ PC  20 ；
②当CD  PD 时，延长 DB 交CP 于点 E ，
∵ OP ∥ BD, OP  PC ，
∴ DE  PC ，
∴ DE 垂直平分 PC ，
∴ BP  BC ，
∴ BPC  BCP ，
∵ BPC  OPB  90, OCP  POC  90，
∴ OPB  POB ，
∴ BP  OB ，
∴ BP  OB  OP ，
∴ POB 为等边三角形，
∴ POB  60，
∴ OCP  30 ，
∵ BC  BP, BP  OP ，
∴ BC  OP ，
∴ BC  OP  tan 30  3 ；
PCCP3
当CD  CP 时，连接OD ， PD 交OC 于点 E ，则OP  OD ，
∴ OC 垂直平分 DP ， OPD  ODP ，
∴ OED  BED  90 ，
∵ OP∥ BD ，
∴ OPD  BDP ， POB  DBO ，
∴ ODP  BDP ，
∴ DOB  ODP  DBO  BDP  90 ，
∴ DOB  DBO ，
∴ OD  DB ，
∴ OD  OB  DB ，
∴OBD 为等边三角形，
∴ DBO  60，
∴ POB  DBO  60 ，
∵ OP  OB ，
∴△OPB 为等边三角形，
∴ OPB  60 ， BP  OP ，
∵ OPC  90 ，
∴ PCO  30, BPC  OPC  OPB  30，
∴ BPC  BCP ，
∴ BC  BP  OP ，
∴ BC  OP  tan 30  3 ；
PCCP3
综上： BC 3 ．
PC3