湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 或 ，则
A. B. C. D.
2. 下列命题是真命题的是
A. B.
C. 是 的充分不必要条件D. 是 的必要不充分条件
3.已知随机变量 ，且 ，则
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况, 抽取了部分学生作为样本, 统计其喜欢的支付方式, 并制作出如等高条形图:
根据图中的信息，下列结论中不正确的是
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
5.已知数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列 的前 3 项和为
A. B. C. D.
6.若存在 ,使得不等式 成立,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
7.已知 是抛物线 上任意一点，点 在 轴上的射影为点 ，点 的坐标为 ，则 的最小值是
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
8.已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值为
A. -1 B. 0 C. D. 1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.小张同学对具有线性相关的两个变量 和 进行了统计分析,得到了下表,其中一些数据丢失,只记得这组数据拟合出的 关于 的经验回归方程为 ,且 成等差数列,则下列说法正确的有( )
A. 变量 与 的样本相关系数 B.
C. 当 时,残差为 -0.1 D. 当 时, 的预测值为 11.3
10.已知在 的展开式中,第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等,则下列说法正确的有
A. B. 第 4 项的二项式系数最大
C. 的系数为 60 D. 展开式各项系数之和为 64
11.下列说法正确的有
A. 4 个相同的球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有 3 种
B. 4 个不同的球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有 72 种
C. 盒子内有 5 个大小相同的球, 其中红球 2 个, 黄球 2 个, 黑球 1 个, 随机不放回依次取出一个球, 直到将球全部取出,则黄球最先被全部取出 (取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球) 的概率是
D. 把 4 个球随机放入 3 个盒子中,记 为装有球的盒子的个数,则 的期望值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 的最小值是________.
13.若命题 “ ” 为假命题，则实数 的取值范围是_______.
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 垂直于双曲线的一条渐近线,直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点,若 ,则双曲线 的离心率 等于________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.若函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)已知 ( 为自然对数函数的底数)，若 在区间 上的最小值为3，求实数 的值 .
16.如图所示,已知多面体 中, 是正方形, 平面 .
(1) 证明: 平面 ;
(2) 设 ，求平面 与平面 的夹角.
17.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
(1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式， 从 40 岁以下和 40 岁及以上两个年龄层中各抽取 100 名市民进行调查, 并对他们选择新能源汽车, 还是选择传统汽车进行意向调查, 得到了如下列联表:
(i)记选择新能源汽车者中年龄在 40 岁以下的概率为 ，求 的估计值；
(ii) 依据小概率值 的独立性检验,分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
(2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量 (单位: 万台) 关于年份 的线性回归方程 ,且销售量 的方差为 ,年份 的方差为 . 求 与 间的样本相关系数 ,并据此判断该地区新能源汽车销售量 与年份 的线性相关性强弱.
附:(i)在线性回归方程 中, ;
(ii) 样本相关系数 ,若 ,则可判断 与 线性相关性很强;
(iii) ,其中 .
18.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予 6 分的初始积分，每答对一题加1 分,每答错一题减 1 分,已知小王每道题答对的概率为 ,答错的概率为 ,且每道题答对与否互不影响.
(1)求小王答 3 道题后积分小于 6 的概率;
(2)设小王答 4 道题后积分为 ,求 ；
(3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为 时，最终积分为12的概率为 ,请直接写出 和 的值,并求出 的值.
19.如图,椭圆 的右顶点为 ,离心率为 ,过 的左焦点 的直线与 交于异于点 的 两点.
(1)求椭圆 的方程.
(2)记直线 的斜率为 ，直线 与直线 的斜率分别为 ，
(i) 若 ,求 ;
(ii) 若 ，求 的面积.
4
6
8
10
12
2
6
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40 岁以下
70
30
100
40 岁及以上
40
60
100
总计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828