湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知等差数列满足，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
2. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A. -9B. -8C. 9D. 8
3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B. 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
5. 已知双曲线C ：-=1焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1
6. 定义行列式，若函数，则下列表述正确是（ ）
A. 的图象关于点中心对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增D. 是最小正周期为的奇函数
7. 已知中，，，，D为BC的中点，则（ ）
A 25B. 19C. D.
8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（ ）
A.
B. 若，互为共轭复数，则
C. 若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D. 若复数为纯虚数，则
10. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B.
C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为
D. 二面角的平面角的大小为
11. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
A. 方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B. 曲线上任一点到坐标原点距离都不超过；
C. 曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D. 曲线上有个整点（横､纵坐标均为整数的点）.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 圆与圆的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线的方程是________.
13. 若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
14. 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是等差数列，是的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值.
16. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点，
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为9.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.
（3）过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.
19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点；
步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线.
（1）以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程；
（2）设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切.
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围.