2026年四川省绵阳市高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年四川省绵阳市高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共12页。试卷主要包含了已知随机变量的分布列是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，且，则等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先递减后递增D．先递增后递减
3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种
A．B．C．D．
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C．或－D．和－
6．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
9．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
10．已知随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
11．已知实数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．
14．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
15．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．
16．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
18．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.
参考公式：其中
临界值表：
19．（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．
（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；
（2）证明：f（x）．
21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．
证明：直线与圆相切；
求面积的最小值．
22．（10分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．
【详解】
因为，且，
，
则．
故选：．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
2．C
【解析】
先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.
【详解】
函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.
故选：C
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
3．D
【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.
4．B
【解析】
间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有，扣除郁金香在两边有，即可求出结论.
【详解】
使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，
然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，
根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，
排盆虞美人、盆郁金香有种，
再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，
根据分步计数原理有，
所以共有种.
故选:B.
本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.
5．C
【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±．
故选C．
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
6．A
【解析】
依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，
解得
，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设
当时
故选：
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
7．A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
8．D
【解析】
根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.
【详解】
由已知可知，点为中点，为中点，
故可得，故可得；
代入椭圆方程可得，解得，不妨取，
故可得点的坐标为，
则，易知点坐标，
将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，
故选：D.
本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.
9．D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
10．C
【解析】
利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】
由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.
故选：C.
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
11．C
【解析】
利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于实数， ，不成立
对于不成立．
对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．
对于指数函数单调递减性质，因此不成立．
故选：．
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
12．B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求解占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.
【详解】
解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率．
故答案为：．
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
14．3
【解析】
根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，正数a、b满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为3，此时.
故答案为：3；.
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.
15．
【解析】
设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和，把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.
【详解】
因为,，令，则 ,
因为,当且仅当时等号成立,
所以 ,,
即,
令则函数的对称轴为,
所以当时函数有最大值为,
即．
当且，即，或，时取等号；
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
令,则函数的对称轴为,
所以当时,函数有最小值为,
即，
当,且时取等号，
所以.
故答案为:
本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.
16．
【解析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为.
又因为其一条渐近线经过点，即，则，
由此可得.
故答案为：.
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
18．（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.
【详解】
（1）
因为，
，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）服从，即，
.
所以的分布列如下
的期望
本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；
（2）由（1）知，，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，0，，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，
因此，，
又，
且，，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，，
由于，因此，
又平面，平面，所以.
由于，，平面，
所以平面，故，
所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，
因此，又，
因为，所以，所以
以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，
，，
设平面的法向量为
所以，即，令，则，，
则平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，则

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
20．（1）a＝1；（2）见解析
【解析】
（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥2．．
【详解】
（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），
当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，
这与x≥a＞0矛盾，故不成立，
当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x，
又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．
（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x| |x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，
∴| a|＝a22，当且仅当a时取等号，
故f（x）．
本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
21．证明见解析；1.
【解析】
由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；
由知，的面积为
【详解】
解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以．
所以椭圆的方程为．
由点在直线上，且知的斜率必定存在，
当的斜率为时，，，
于是，到的距离为，直线与圆相切．
当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，
所以，，从而．
而，故的方程为，而在上，故，
从而，于是．
此时，到的距离为，直线与圆相切．
综上，直线与圆相切．
由知，的面积为
，
上式中，当且仅当等号成立，
所以面积的最小值为1．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；
（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，
得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，
因为，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）过A作交于点O，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
由是菱形及，得为三角形，则，
由平面，得，从而侧面为矩形，
所以.
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
30
10
40
女性驾驶员
5
15
20
合计
35
25
60
0
1
2
3