四川省绵阳中学2026届高三上学期1月第二次模拟考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳中学2026届高三上学期1月第二次模拟考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设向量 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平行直线 与 之间的距离为 ，则实数 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4．已知直线 截圆 所得的弦长为 4，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．设 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 ；
B．若 ， ， ， ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ， ；
D．若 ， ，则 ；
6．设抛物线 的焦点为 ，不经过 的直线与 交于 、 两点，与 轴交于
点 ，已知点 的坐标为 ，且 与 的面积之比是 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， 于
1898 年提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）
之间关系的经验公式： ，其中 为 常数.为测算某蓄电池的 常数 ，在电
池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时
间 .若计算时取 ， ，则该蓄电池的 常数 大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
8.若 ， ，使得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 题，每题 6 分，共 18 分.全对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知 ， ， ，则“ ”的充要条件是（ ）
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A． B． C． D．
10．在棱长为 的正方体 中， 分别为 的中点，点 是正方
体侧面 上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．当点 为棱 的中点时，直线 与直线 平行
C．若保持 ，则点 在侧面 内运动路径的长度为
D．过直线 的平面截该正方体的内切球 所得截面圆的面积的最小值为
11.平面内到定点 、 轴、 轴的距离之和等于 4 的点的轨迹是如图所示的曲线 ，它由 4
部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设 是该曲线上一点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．当 都是整数时， 称为格点，则 上有 2 个格点
C． 的最大值为
D． 在第一象限对应的双曲线的离心率为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12.已知 ，则 ．
13．欧拉是 18 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式
“ ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：
的一种特殊情况.若复数 ，则 = ．
14.已知 面积为 1，边 AC，AB 上的中线为 BD，CE，且 ，则边 AB 长度的最小值
为 ．
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13 分）已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列 的前 项和.
16．（15 分）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积 ， ，求边 的大小.
17．（15 分）如图，平行六面体 的所有棱长均相等， ， ，
平面 平面 ，点 ， 满足 ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角 的正弦值.
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18．（17 分）已知椭圆 过点 ，且与双曲线 有相同的焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的上顶点， 为左焦点， ， 为 上的两点，点 关于 轴的对称点为 ，线段
的中点为 ，若 为 的平分线，
（i）求证：直线 过定点； （ii）求 的取值范围
19．（17 分）对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点．已知 ，且
的不动点的集合为 ．以 和 分别表示集合 中的最小元素
和最大元素．
（1）若 ，求 的元素个数及 ；
（2）当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 ．
求 ；
若 ，数列 满足 ，集合 ．求证：
．
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数学参考答案
DBAADBCB
8.B【详解】由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
若 ， ，使得 ，
则 的区间长度要不小于 的解集的区间长度，
， .故选：B
9．ABD 10．ACD
11.ACD【详解】由题意 ，则 ，
整理得 ，
当 时，有 ，则 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，结合题图知 ，A 对；
由方程，显然 都在曲线上，至少有 4 个格点，B 错；
要使 最大，则 必在第一象限，此时 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 的最大值为 ，
（注意 ，则 不成立），C 对；
在第一象限对应的双曲线为 ，即 ，
所以 ，是由 平移得到，而 轴为双曲线 的渐近线，则 为实轴，
为虚轴，所以 对应的标准双曲线的渐近线为 ，即 ，故离心率
，D 对.故选：ACD
12． 13． 14． 【详解】取 ，依题意，
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为 的重心，由 ，设 ， ，则 ，
， ，
又 ，
则 ，即 ，由余弦定理知
，
令 ，则 ，解得 ，
而 ，则 ，因此 ，解得 ， ，
所以 的最小值为 .故答案为：
15．【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ，
则 ，即 ，解得 ，所以 .
则 数列 的通项公式为：
（2）因为数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 ，
又因为 ，所以 . 设数列 的前 项和为 ，
则
16，【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，得 ，
， ， ， .
（2） ，又 ， ，所以 ，得
，
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又∵ ，∴ 或 ，由余弦定理得
，
所以 .
17．【详解】（1）证明如图，取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，又
，所以 由于 ， ，所以 ，从而有
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）设平行六面体各条棱长为 6.因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，由于 ，所以 ， ， ，
由余弦定理得 ， ，所以 ，
以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ，
由 得 ，
从而
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
可取 ，故 .
18．【详解】（1）双曲线 的标准形式为 ，
因为 ，所以双曲线的焦点为 ，
因为椭圆 与双曲线的焦点相同，故可设其方程为
，且 ，
因为 在椭圆上，所以 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ；
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（2）（i）设直线 、 的倾斜角分别为 和 ，则直线 的倾斜角为 ，
由题设知 和 均不等于 ，又直线 的斜率为 ，故其倾斜角为 ，
从而有 ，即 ，
则 ，即 ，
又 ，故 ，
设直线 、 的斜率分别为 、 ，则 ，
设直线 、 的方程分别为 、 ，设 ，
联立 ，得 ，解得 ，
则 ，故点 ，
同理可得 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ，
代入点 坐标得 ，化简得 ，
同理有 ，故 、 是方程 的两个根，
故 ，解得 ，故直线 方程为 ，过定点 ；
（ii）因为 ，故 ，故 ，
由（i）可知，直线 方程为 ，
设 、 ，则 ， ，
联立 ，得 ，
因为点 在曲线 内部，则必有 ，
则 ， ，
则
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，令 ， ，
因为 ，则 ，则 ，即 ，
故 ，所以 ，则 的取值范围为 .
19．【详解】（1）当 时， ，其定义域为 ．
由 得， ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在
单调递减，注意到 （1） ，所以 在 恰有一个零点 ，且 ，
又因为 ，所以 ，所以 在 恰有一个零点 ，
即 在 恰有一个不动点 ，在 恰有一个不动点 ，所以 ， ，
所以 的元素个数为 2，又因为 ，所以 ；
（ 2） 当 时 ， 由 （ 1） 知 ， 有 两 个 元 素 ， 不 符 合 题 意 ， 当 时 ，
，其定义域为 ，由 得， ，
设 ，则 ，
设 ，则△ ，
①当 时，△ ， ， ，所以 在 单调递增，
又 （1） ，所以 在 恰有一个零点 ，
即 在 恰有一个不动点 ，符合题意，
②当 ，△ ，故 恰有两个零点 ， ，
又因为 ， （1） ，所以 ，
当 时， ， ；当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ，所以 在 单调递增，在 ， 单调递减，在
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， 单调递增，注意到 （1） ，所以 在 ， 恰有一个零点 ，且 （1
） ， （1） ，又 时， ，所以 在 恰有一个零点 ，
从而 至少有两个不动点，不符合题意，所以 的取值范围为 ，即集合 ；
证 明 ： 由 知 ， ， 所 以 ， 此 时 ，
，由 知， 在 单调递增，所以当 时， （1）
，所以 ，即 ，故若 ，则 ，因此若存在正整数 使得 ，则
，从而 ，重复这一过程有限次后可得 ，与 矛盾，从而 ， ，
下面我们先证明当 时， ，
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递减，
所 以 （ 1） ， 即 当 时 ， ， 从 而 当 时 ，
，
从而 ，即 ，故 ，
即 ，由于 ， ，所以 ， ，故 ，
故 时， ，
所以 ， ，故 ．
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