湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷含解析（word版）

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一、单选题
1. 已知圆的圆心在 −3,4 ，半径为 5，则它的方程为( )
A. x−32+y−42=5 B. x+32+y+42=25
C. x+32+y−42=25 D. x+32+y−42=5
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为 −3,4 ,半径为 5,
所以圆的标准方程为 x+32+y−42=25 ,
故选: C
2. 已知数列 an 是等比数列,且 a7=12,a15=3 ,则 a11= ( )
A. 3 B. 6C. 3 或 -3 D. 6 或 -6
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解: 设数列 an 的公比为 q ,
则 a15=a7q8 ,
所以 q8=14,q4=12 ,
所以 a11=a7q4=6 .
故选:B.
3. 曲线 y=xx+2 在点 −1,−1 处的切线方程是( )
A. y=2x+1 B. y=2x−1 C. y=−2x−3 D. y=−2x−2
【答案】A
【解析】
【分析】对 y=xx+2 求导,利用导数的几何意义求在点 −1,−1 处的切线的斜率,进而求出切线方程.
【详解】 ∵y=xx+2,∴y′=2x+22 ,
当 x=−1 时， k=y′x=−1=2 ，
∴ 在点 −1,−1 处的切线方程为: y+1=2x+1 ,
即: y=2x+1 .
故选: A.
4. 已知 A−3,0,B3,2 ,若过点 1,−2 的直线 l 与线段 AB (含端点)总有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为( )
A. −12,2 B. −2,12
C. −∞,−12∪[2,+∞) D. (−∞,−2]∪12,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线 l 过点 A 和过点 B 时的斜率,数形结合求解.
如图,设 P1,−2 ,当直线 l 过点 A 时,斜率 kPA=0−−2−3−1=−12 ,当直线 l 过点 B 时,斜率 kPB=2−−23−1=2,
要使直线 l 与线段 AB (含端点)总有公共点，则直线 l 的斜率 k 需满足 k≤−12 或 k≥2 .
所以直线 l 的斜率的取值范围为 −∞,−12]∪[2,+∞ .
故选: C.
5. P 是椭圆 x216+y29=1 上一点, F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 PF1PF2=12 ,则 ∠F1PF2 的大小为 ( )
A. 30∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 150∘
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的方程,结合已知可得 PF1+PF2=8,F1F2=27 ,再结合 PF1PF2=12 可求出 PF12+PF22 的值; 然后在 △F1PF2 中,利用余弦定理求出 cs∠F1PF2 的值,从而得到 ∠F1PF2 的度数.
【详解】 P 是椭圆 x216+y29=1 上一点, F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,
则 PF1+PF2=8,F1F2=27 ,
又 PF1PF2=12 ,由 PF1+PF22=PF12+2PF1PF2+PF22=64 ,
得 PF12+PF22=40 ,
ΔF1PF2 中,由余弦定理 cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=40−2824=12 ,
而 ∠F1PF2 为三角形内角,所以 ∠F1PF2=60∘ .
故选: B
6.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( )
A. 18 B. 38 C. 58 D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】求得随机试验 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间的样本点的个数, 再求事件周六、周日都有同学参加公益活动所包含的样本点的个数, 利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】随机试验 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间中包含 24=16 个样本点,事件周六、周日都有同学参加公益活动包含 24−2=14 个样本点
所以事件周六、周日都有同学参加公益活动的概率 P=1416=78 .
故选: D.
7. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右顶点到其渐近线的距离不大于 255a ,其离心率 e 的取值范围为( )
A. [3,+∞) B. 5,+∞ C. 1,5 D. 1,3
【答案】C
【解析】
【分析】表示出右顶点坐标与渐近线方程, 利用点到直线的距离公式代入列不等式求解, 再由 e>1 ,可得离心率的取值范围.
【详解】由题意得,双曲线的右顶点坐标为 a,0 ,其中一条渐近线方程为 y=bax⇒bx−ay=0 ,所以 d=aba2+b2=abc≤255a ,得 5b2≤4c2 ,即 5c2−a2≤4c2⇒ca≤5 ,又因为双曲线的离心率 e>1 ,所以离心率的取值范围为 1,5 . 故选: C
8. 已知 m,n 为实数， fx=ex−mx+n−1 ，若 fx≥0 对 x∈R 恒成立，则 nm 的最小值是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的性质, 结合构造函数法进行求解即可.
【详解】 fx=ex−mx+n−1,f′x=ex−m ,
当 m≤0 时, f′x>0 恒成立,则 fx 单调递增, f0=n ,显然 fx≥0 不恒成立,
当 m>0 时, x∈−∞,lnm 时, f′x0 , 函数 fx 单调递增,
∴fxmin=flnm=m−mlnm+n−1 ,
∵fx≥0 恒成立, ∴m−mlnm+n−1≥0 ,
∴n≥mlnm−m+1 ,
∴nm≥mlnm−m+1m=lnm+1m−1 ,
令 hm=lnm+1m−1,m>0 ,
h′m=1m−1m2=m−1m2,hm 在区间 0,1 上单调递减,在区间 1,+∞ 上单调递增, ∴hmmin=h1=0 .
故选: B
【点睛】关键点睛: 利用导数的性质, 结合构造新函数法是解题的关键.
二、多选题
9. 下列选项正确的有( )
A. A44−3 A33=6 B. A31+A32+A33=12
C. C200198=19900 D. C83+C84+C95=C105
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用排列数公式可判断 AB 选项，利用组合数公式可判断 C 选项，利用组合数的性质可判断 D 选项.
【详解】因为 A44−3 A33=4 A33−3 A33=A33=6 ,所以 A 正确;
因为 A31+A32+A33=3+3×2+3×2×1=15 ,所以 B 不正确;
因为 C200198=C2002=200×1992=19900 ,所以 C 正确;
由组合数的性质可得 C83+C84+C95=C94+C95=C105 ,故 D 正确.
故选: ACD.
10. 已知 y=fx 是定义在 0,+∞ 上的单调递减函数, f′x 是 fx 的导函数,若 fxf′x>x , 则下列不等式不成立的是( )
A. f20 ,
所以函数 gx 在区间 0,+∞ 上单调递增,
所以 g1k1−a2 ,
设 φa=1−a+ln1+a2+ka2−1a∈1,2,φ1=0 ,有 φa>0 在 a∈1,2 时恒成立, ∵φ′a=a1+a2ka−1−2k ,
① k=0 时， ∵φ′a=−a1+a ，显然 φ′a