十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题22 导数解答题（理科）-4

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（2023年全国甲卷理科·第21题）
已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
（2014高考数学浙江理科·第22题）
已知函数
若在上的最大值和最小值分别记为，求；
设若对恒成立，求的取值范围.
（2014高考数学陕西理科·第23题）
设函数，其中是的导函数.
，
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，比较与的大小，并加以证明.
（2014高考数学福建理科·第20题）
已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处切线斜率为-1．
(1)求a的值及函数的极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：对任意给出的正数c，总存在，使得当时恒有.
（2014高考数学北京理科·第18题）
已知函数.
(1)求证：；
(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.
（2015高考数学新课标2理科·第21题）
设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
（2015高考数学山东理科·第21题）
设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
（2015高考数学北京理科·第18题）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
（2016高考数学四川理科·第21题）
设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
（2016高考数学山东理科·第20题）
已知．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．
（2015高考数学福建理科·第20题）
已知函数，
（Ⅰ）证明：当；
（Ⅱ）证明：当时，存在,使得对
（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
题型八：导数的综合应用
（2014高考数学课标2理科·第21题）
已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
（2014高考数学湖北理科·第22题）
为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数：
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
（2014高考数学江苏·第19题）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）证明：是上的偶函数．
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
（3）已知正数满足：存在，，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
（2015高考数学江苏文理·第17题）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
（2020年高考课标2卷理科·第21题）
已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
（2020天津高考·第20题）
已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
（2019·浙江·第22题）
已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
（2019·天津·理·第20题）
设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.